Encontre os pontos da superfície z^2=x y+1 que estão mais próximos da origem.

Passo 1

Temos a superfície que satisfaz a equação z^2 = x y + 1 e queremos encontrar o(s) ponto(s) dela que minimizam a distância até a origem. Isso faz parte do tema de otimização com restrição, então vamos usar multiplicadores de Lagrange.

Passo 2

Definimos a função objetivo como f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2, que representa o quadrado da distância ao ponto (0,0,0), e a restrição como g(x,y,z)=z^2 - x y - 1=0. O Lagrangeano é L(x,y,z,lambda)=f(x,y,z)-lambda,g(x,y,z).

Passo 3

Calculando as derivadas parciais e igualando a zero, obtemos as equações de Lagrange:
2x = -lambda y, 2y = -lambda x, 2z = 2lambda z,e a restrição z^2 = x y + 1çã

Passo 4

Da equação 2z = 2lambda z vem 2z(1-lambda)=0, o que gera dois casos:

Passo 5

Caso A: z=0. Da restrição surge x y = -1. Escrevendo y=-1/x, temos f(x)=x^2+1/x^2. Derivando e igualando a zero dá x^4=1, logo x=pm1 e y=-1/x=mp1. Assim os pontos são (1,-1,0) e (-1,1,0) com f=2.

Passo 6

Caso B: lambda=1. As equações 2x=-y e 2y=-x levam a y=-2x e x+2y=0, o que implica x=0 e y=0. Da restrição z^2=1, resulta z=pm1. Os pontos são (0,0,1) e (0,0,-1) com f=1.

Passo 7

Comparando os valores, o mínimo de f é 1 no caso B, menor que 2 no caso A. Portanto os pontos mais próximos são os do caso B.

Resposta

Os pontos mais próximos da origem são (0, 0, 1) e (0, 0, -1).

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