Encontre os pontos da superfície
que estão mais próximos da origem.
Passo 1
Temos a superfície que satisfaz a equação
e queremos encontrar o(s) ponto(s) dela que minimizam a distância até a origem. Isso faz parte do tema de otimização com restrição, então vamos usar multiplicadores de Lagrange.
Passo 2
Definimos a função objetivo como
, que representa o quadrado da distância ao ponto
, e a restrição como
. O Lagrangeano é
.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais e igualando a zero, obtemos as equações de Lagrange:
Passo 4
Da equação
vem
, o que gera dois casos:
Passo 5
Caso A:
. Da restrição surge
. Escrevendo
, temos
. Derivando e igualando a zero dá
, logo
e
. Assim os pontos são
e
com
.
Passo 6
Caso B:
. As equações
e
levam a
e
, o que implica
e
. Da restrição
, resulta
. Os pontos são
e
com
.
Passo 7
Comparando os valores, o mínimo de
é 1 no caso B, menor que 2 no caso A. Portanto os pontos mais próximos são os do caso B.
Resposta
Os pontos mais próximos da origem são (0, 0, 1) e (0, 0, -1).