Calcule a área da superfície S=(x, y, z) in R^3 ;(x-1)^2+y^2=1 e 0<z<raizx^2+y^2.

Passo 1

O enunciado pede calcular a área de
S=(x,y,z)inR^3 mid (x-1)^2+y^2=1, 0<z<raizx^2+y^2.
Isso é a parte lateral de um cilindro de raio 1 centrado em (1,0), truncado verticalmente pela superfície z=raizx^2+y^2. Vamos usar uma parametrização cilíndrica do cilindro e aplicar a fórmula de área de superfície paramétrica:
Área=integral duplaD l|rutimesrvr|,du,dv Á

Passo 2

Parametrizamos o cilindro por
phi(theta,z) = l(1+costheta, sintheta, zr),
onde thetain[0,2pi] e zin[0,R(theta)]. Aqui
R(theta)=raiz(1+costheta)^2+sin^2theta
é o valor máximo de z para cada theta.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
partialthetaphi = (-sintheta, costheta, 0), partialzphi = (0,0,1)
O módulo do produto vetorial é
l|partialthetaphitimespartialzphir| = l|(-sintheta,costheta,0)times(0,0,1)r| = raizcos^2theta+sin^2theta =1

Passo 4

Simplificamos R(theta):
R(theta) = raiz1+2costheta+cos^2theta+sin^2theta = raiz2+2costheta = 2l|cos(tfractheta2)r|

Passo 5

A área de S é
integral0^2piintegral0^R(theta)1,dz,dtheta = integral0^2piR(theta),dtheta = integral0^2pi2l|cos(tfractheta2)r|,dtheta = 2integral0^2pil|cos(tfractheta2)r|,dtheta
Fazendo u=tfractheta2 em que dtheta=2,du e uin[0,pi], resulta
2integral0^2pil|cos(tfractheta2)r|,dtheta = 4integral0^pi|cos u|,du = 4cdot 2 = 8

Resposta

A área da superfície S é 8.

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