Calcule a área da superfície S=(x, y, z) in R^3 ;(x-1)^2+y^2=1 e 0<z<raizx^2+y^2. Passo 1O enunciado pede calcular a área de S=(x,y,z)inR^3 mid (x-1)^2+y^2=1, 0<z<raizx^2+y^2. Isso é a parte lateral de um cilindro de raio 1 centrado em (1,0), truncado verticalmente pela superfície z=raizx^2+y^2. Vamos usar uma parametrização cilíndrica do cilindro e aplicar a fórmula de área de superfície paramétrica: Área=integral duplaD l|rutimesrvr|,du,dv Á Passo 2Parametrizamos o cilindro por phi(theta,z) = l(1+costheta, sintheta, zr), onde thetain[0,2pi] e zin[0,R(theta)]. Aqui R(theta)=raiz(1+costheta)^2+sin^2theta é o valor máximo de z para cada theta. Passo 3Calculamos as derivadas parciais: partialthetaphi = (-sintheta, costheta, 0), partialzphi = (0,0,1) O módulo do produto vetorial é l|partialthetaphitimespartialzphir| = l|(-sintheta,costheta,0)times(0,0,1)r| = raizcos^2theta+sin^2theta =1 Passo 4Simplificamos R(theta): R(theta) = raiz1+2costheta+cos^2theta+sin^2theta = raiz2+2costheta = 2l|cos(tfractheta2)r| Passo 5A área de S é integral0^2piintegral0^R(theta)1,dz,dtheta = integral0^2piR(theta),dtheta = integral0^2pi2l|cos(tfractheta2)r|,dtheta = 2integral0^2pil|cos(tfractheta2)r|,dtheta Fazendo u=tfractheta2 em que dtheta=2,du e uin[0,pi], resulta 2integral0^2pil|cos(tfractheta2)r|,dtheta = 4integral0^pi|cos u|,du = 4cdot 2 = 8 RespostaA área da superfície S é 8. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosProblema 81 Se f(x)=sen(x-pi) determine f^-1(pi / 2). A dilatação pelo calor de um prato circular de metal é tal que o raio cresce com velocidade de 0,01 cm / s. Com que velocidade cresce a área do prato quando o raio tem 2 cm ? Exercício 1.5.1. Calcule os limites: lim (x, y) (1,2) e^x y-e^y+1