A dilatação pelo calor de um prato circular de metal é tal que o raio cresce com velocidade de 0,01 cm / s. Com que velocidade cresce a área do prato quando o raio tem 2 cm ?

Passo 1

O enunciado diz que temos um prato circular cujo raio aumenta a uma taxa de drdt=0,01,cm/s. Queremos saber com que velocidade cresce a área A do prato quando o raio vale r=2,cm. O conteúdo aqui é de taxas relacionadas e derivada de uma função geométrica.

Passo 2

A área de um círculo em função do raio é dada por
A = pi r^2
Para encontrar a velocidade de variação da área, vamos derivar ambos os lados em relação ao tempo t.

Passo 3

Derivando em relação a t temos
dAdt = ddtl(pi r^2r) = pi cdot 2r ,drdt = 2pi r,drdt

Passo 4

Basta agora substituir r=2,cm e drdt=0,01,cm/s na expressão:
dAdt = 2pi cdot 2 cdot 0,01 = 0,04pi
Portanto, a área cresce a uma taxa de 0,04pi,cm ^2/s.

Resposta

A área do prato cresce à razão de 0,04pi,cm ^2/s quando o raio é 2,cm.

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