Calcule a área da superfície do cone definido por z=f(x, y)=raizx^2+y^2, com R: x^2+y^2 <= 1.

Passo 1

O problema pede pra calcular a área da superfície do cone dado por z=raizx^2+y^2 sobre o disco x^2+y^2<=1. Isso é um exercício de cálculo de área de superfície e vamos usar a fórmula
A=integralRraiz1+fx^2+fy^2,dA
onde fx e fy são as derivadas parciais de f(x,y)=raizx^2+y^2.

Passo 2

Primeiro a gente calcula as derivadas parciais:
fx=xraizx^2+y^2, fy=yraizx^2+y^2
Então
1+fx^2+fy^2=1+x^2+y^2x^2+y^2=2
e a raiz dá raiz2.

Passo 3

Como o integrando é constante raiz2, a área vira:
A=integralRraiz2,dA=raiz2integralRdA
Em coordenadas polares ( dA=r,dr,dtheta):
A=raiz2integral0^2piintegral0^1r,dr,dtheta =raiz2cdot2picdot12 =piraiz2

Resposta

piraiz2

Exercícios relacionados