Considere o problema de valor inicial
y^prime prime+de
Suponha que 0 e encontre a solução do problema acima.

Passo 1

A questão pede para resolver a EDO y’’ + δ y’ + y = δ₁(t) com y(0)=y’(0)=0, sabendo que 0<δ<1. O conteúdo aqui é resposta a um impulso unitário deslocado, usando transformada de Laplace e a propriedade de deslocamento no tempo.

Passo 2

Aplicamos transformada de Laplace em ambas as parcelas. Como as condições iniciais são nulas, temos
Ly'' + δ,Ly' + Ly = Lδ₁(t)
Então
s^2Y(s) + δ,sY(s) + Y(s) = e^-s,
pois Lδ(t-1)=e^-s.

Passo 3

Fatoramos Y(s):
Y(s)l(s^2 + δs + 1r)=e^-s,
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Y(s)=e^-ss^2 + δs + 1
O denominador tem raízes complexas conjugadas: definimos
ζ=δ2, ωd=raiz1-ζ^2=raiz1-δ^24

Passo 4

A parte sem o expoente e^-s é a transformada de Laplace da resposta ao impulso em tempo zero. Sabemos que
L^-1l1(s+ζ)^2+ωd^2r = e^-ζtsin(ωdt)ωd

Passo 5

Pela propriedade de deslocamento no tempo, multiplicar por e^-s em Laplace corresponde a atrasar 1 segundo e multiplicar por u(t-1). Assim
y(t)=u(t-1),e^-ζ(t-1)sinl(ωd(t-1)r)ωd

Passo 6

Substituindo ζ e ω_d: temos a solução para todo t≥0.

Resposta

y(t)=u(t-1),e^-δ2(t-1)sinl(raiz1-δ^24,(t-1)r)raiz1-δ^24

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