Considere o problema de valor inicial
Suponha que
e encontre a solução do problema acima.
Passo 1
A questão pede para resolver a EDO y’’ + δ y’ + y = δ₁(t) com y(0)=y’(0)=0, sabendo que 0<δ<1. O conteúdo aqui é resposta a um impulso unitário deslocado, usando transformada de Laplace e a propriedade de deslocamento no tempo.
Passo 2
Aplicamos transformada de Laplace em ambas as parcelas. Como as condições iniciais são nulas, temos
Então
pois
.
Passo 3
Fatoramos Y(s):
logo
O denominador tem raízes complexas conjugadas: definimos
Passo 4
A parte sem o expoente
é a transformada de Laplace da resposta ao impulso em tempo zero. Sabemos que
Passo 5
Pela propriedade de deslocamento no tempo, multiplicar por
em Laplace corresponde a atrasar 1 segundo e multiplicar por
. Assim
Passo 6
Substituindo ζ e ω_d: temos a solução para todo t≥0.