Calcule a área da superfície do cone
que está entre o plano
e o plano
.
Passo 1
A questão pede a área da parte do cone z=√(x²+y²) que fica entre o plano z=0 (plano xy) e o plano z–y/2=1. O conteúdo aqui é cálculo de área de superfície de uma função z=f(x,y) gráf-ica, usando a fórmula dS=√(1+f_x²+f_y²) dA projetada. Vamos precisar: 1) calcular os parciais de z, 2) parametrizar em coordenadas polares para escrever dA, 3) achar o raio máximo r(θ) da curva de interseção com o plano inclinado e 4) fazer a integral.
Passo 2
Primeiro calculamos os parciais de z=√(x²+y²), isto é z=r em polares. Temos
Passo 3
Logo
Em coordenadas polares projetadas, dA_proj=r dr dθ, então o elemento de área da superfície é dS=√2·r dr dθ.
Passo 4
Para achar o limite superior de r, resolvemos a interseção do cone com o plano z–y/2=1. Como z=r e y=r sinθ,
Passo 5
A área será
Passo 6
Há uma fórmula clássica
Aqui a=2, b=-1, então
Passo 7
Substituindo em A:
$$A=2\sqrt2\cdot\frac{4\pi}{3\sqrt3}=\frac{8\sqrt2,\pi}{3\sqrt3}=\frac{8\sqrt6,\pi}{9}.
$$