Calcule a área da superfície do cone z=raizx^2+y^2 que está entre o plano x y e o plano z-y2=1.

Passo 1

A questão pede a área da parte do cone z=√(x²+y²) que fica entre o plano z=0 (plano xy) e o plano z–y/2=1. O conteúdo aqui é cálculo de área de superfície de uma função z=f(x,y) gráf-ica, usando a fórmula dS=√(1+f_x²+f_y²) dA projetada. Vamos precisar: 1) calcular os parciais de z, 2) parametrizar em coordenadas polares para escrever dA, 3) achar o raio máximo r(θ) da curva de interseção com o plano inclinado e 4) fazer a integral.

Passo 2

Primeiro calculamos os parciais de z=√(x²+y²), isto é z=r em polares. Temos
zx=xraizx^2+y^2=costheta, zy=sintheta

Passo 3

Logo
raiz1+zx^2+zy^2=raiz1+cos^2theta+sin^2theta=raiz2
Em coordenadas polares projetadas, dA_proj=r dr dθ, então o elemento de área da superfície é dS=√2·r dr dθ.

Passo 4

Para achar o limite superior de r, resolvemos a interseção do cone com o plano z–y/2=1. Como z=r e y=r sinθ,
r-rsintheta2=1implies rl(1-sintheta2r)=1implies r(theta)=22-sintheta

Passo 5

A área será
A=integral0^2piintegral0^r(theta)raiz2,r,dr,dtheta =raiz2integral0^2pir(theta)^22,dtheta =raiz22integral0^2pi4(2-sintheta)^2,dtheta =2raiz2integral0^2pidtheta(2-sintheta)^2

Passo 6

Há uma fórmula clássica
integral0^2pidtheta(a+bsintheta)^2=2pi a(a^2-b^2)^3/2, a>|b|
Aqui a=2, b=-1, então
integral0^2pidtheta(2-sintheta)^2=2picdot2(4-1)^3/2=4pi3raiz3

Passo 7

Substituindo em A:
$$A=2\sqrt2\cdot\frac{4\pi}{3\sqrt3}=\frac{8\sqrt2,\pi}{3\sqrt3}=\frac{8\sqrt6,\pi}{9}.
$$

Resposta

A=8raiz6,pi9

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