Calcule os seguintes limites (sem utilizar a regra de L’Hospital)
Passo 1
Na questão, queremos calcular o limite
. O conteúdo aqui é limites de indeterminação do tipo
envolvendo expressões irracionais, e vamos precisar usar a técnica de racionalização, ou seja, multiplicar por conjugados para eliminar raízes.
Passo 2
Primeiro, observamos que, ao substituir
, tanto o numerador
quanto o denominador
dão
. Para eliminar essa forma indeterminada, vamos racionalizar o numerador multiplicando numerador e denominador por seu conjugado
. Assim temos:
No numerador da fração nova, usamos
Assim a expressão fica
Passo 3
Ainda temos indeterminação porque há o fator
. Para cancelá-lo, vamos racionalizar a parte
no denominador: multiplicamos numerador e denominador por
. Assim:
E como
Passo 4
Agora podemos finalmente substituir
sem indeterminação:
Resposta
(-\frac{3\sqrt{2}}{2})