Calcule os seguintes limites (sem utilizar a regra de L’Hospital)
lim x 2 raizx^2+6 x-2 xraizx-raiz2

Passo 1

Na questão, queremos calcular o limite limxto 2 raizx^2+6x - 2xraizx - raiz2. O conteúdo aqui é limites de indeterminação do tipo 0/0 envolvendo expressões irracionais, e vamos precisar usar a técnica de racionalização, ou seja, multiplicar por conjugados para eliminar raízes.

Passo 2

Primeiro, observamos que, ao substituir x=2, tanto o numerador raiz2^2+6cdot2 - 2cdot2 = raiz16 - 4 = 4-4=0 quanto o denominador raiz2 - raiz2 = 0 dão 0/0. Para eliminar essa forma indeterminada, vamos racionalizar o numerador multiplicando numerador e denominador por seu conjugado raizx^2+6x + 2x. Assim temos:
raizx^2+6x - 2xraizx - raiz2 cdot raizx^2+6x + 2xraizx^2+6x + 2x = (raizx^2+6x)^2 - (2x)^2(raizx^2+6x+2x),(raizx - raiz2)
No numerador da fração nova, usamos (raizA)^2 = A e desenvolvemos a diferença de quadrados:
(raizx^2+6x)^2 - (2x)^2 = (x^2+6x) - 4x^2 = -3x^2 + 6x = -3x(x-2)
Assim a expressão fica
-3x(x-2)(raizx^2+6x+2x),(raizx - raiz2)

Passo 3

Ainda temos indeterminação porque há o fator x-2. Para cancelá-lo, vamos racionalizar a parte raizx - raiz2 no denominador: multiplicamos numerador e denominador por raizx + raiz2. Assim:
-3x(x-2)(raizx^2+6x+2x),(raizx - raiz2) cdot raizx + raiz2raizx + raiz2 = -3x(x-2),(raizx+raiz2)(raizx^2+6x+2x),((raizx)^2 -(raiz2)^2)
E como (raizx)^2 -(raiz2)^2 = x - 2, o fator x-2 cancela. Depois do cancelamento, a expressão simplifica para
-3x,raizx+raiz2raizx^2+6x+2x

Passo 4

Agora podemos finalmente substituir x=2 sem indeterminação:
-3cdot2,raiz2+raiz2raiz4+12+4 = -6,2raiz24+4 = -6,2raiz28 = -12raiz28 = -3raiz22

Resposta

(-\frac{3\sqrt{2}}{2})

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