Calcule a área da Superfície cortada do parabolóide x-y^2-z^2=0 pelo plano x=2
R: 13 pi3

Passo 1

O exercício pede para calcular a área da parte do parabolóide definido por x–y²–z²=0 que fica “cortada” pelo plano x=2. Isso é um problema de área de superfície de uma superfície parametrizada em coordenadas (y,z), usando a fórmula da área via primeira forma fundamental.

Passo 2

Para parametrizar o trecho do parabolóide usamos r(y,z) = (x(y,z),y,z) com x=y²+z². Então definimos
r(y,z) = l(y^2+z^2,;y,;zr)
Precisamos das derivadas parciais r_y e r_z: r_y=(2y,1,0) e r_z=(2z,0,1).

Passo 3

A partir delas calculamos a primeira forma fundamental:
E=⟨r_y,r_y⟩=4y²+1,
F=⟨r_y,r_z⟩=4yz,
G=⟨r_z,r_z⟩=4z²+1.
O elemento de área é √(EG–F²) dA. Fazendo as contas:
raiz(4y^2+1)(4z^2+1)-16y^2z^2=raiz4y^2+4z^2+1=raiz4(y^2+z^2)+1

Passo 4

Como a região parâtrica é o disco y²+z² ≤ 2, passamos a coordenadas polares: y=r cosθ, z=r sinθ, com r∈[0,√2], θ∈[0,2π]. O jacobiano é r, então
A=integral0^2piintegral0^raiz2 raiz4r^2+1;r,dr,dtheta =2piintegral0^raiz2 rraiz4r^2+1,dr

Passo 5

Para resolver o integral interno usamos u=4r²+1 ⇒ du=8r dr, logo
integral0^raiz2 rraiz4r^2+1,dr=18integralu=1^u=9 u^1/2,du=18cdot23l(u^3/2r)|1^9=112(27-1)=136
Multiplicando por 2π dá
A=2picdot136=13pi3

Resposta

13pi3

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