Calcule a área da Superfície cortada do parabolóide
pelo plano
Passo 1
O exercício pede para calcular a área da parte do parabolóide definido por x–y²–z²=0 que fica “cortada” pelo plano x=2. Isso é um problema de área de superfície de uma superfície parametrizada em coordenadas (y,z), usando a fórmula da área via primeira forma fundamental.
Passo 2
Para parametrizar o trecho do parabolóide usamos r(y,z) = (x(y,z),y,z) com x=y²+z². Então definimos
Precisamos das derivadas parciais r_y e r_z: r_y=(2y,1,0) e r_z=(2z,0,1).
Passo 3
A partir delas calculamos a primeira forma fundamental:
E=⟨r_y,r_y⟩=4y²+1,
F=⟨r_y,r_z⟩=4yz,
G=⟨r_z,r_z⟩=4z²+1.
O elemento de área é √(EG–F²) dA. Fazendo as contas:
E=⟨r_y,r_y⟩=4y²+1,
F=⟨r_y,r_z⟩=4yz,
G=⟨r_z,r_z⟩=4z²+1.
O elemento de área é √(EG–F²) dA. Fazendo as contas:
Passo 4
Como a região parâtrica é o disco y²+z² ≤ 2, passamos a coordenadas polares: y=r cosθ, z=r sinθ, com r∈[0,√2], θ∈[0,2π]. O jacobiano é r, então
Passo 5
Para resolver o integral interno usamos u=4r²+1 ⇒ du=8r dr, logo
Multiplicando por 2π dá