Calcule a área da Superfície da parte do plano 4-x-2 y-z=0 que está dentro do cilindro
x^2+y^2=4
R: 4 raiz6 pi

Passo 1

O enunciado pede para calcular a área da superfície do plano 4 - x - 2y - z = 0 na região projetada pelo cilindro x^2 + y^2 = 4. O conteúdo envolve área de superfície de um gráfico z = f(x,y), usando a fórmula integral duplaD raiz1 + (fx)^2 + (fy)^2 ,dA.

Passo 2

Primeiro, escrevemos o plano como gráfico isolando z:
z = 4 - x - 2y
Agora calculamos as derivadas parciais: fx = partial zpartial x = -1 e fy = partial zpartial y = -2.

Passo 3

Substituímos na fórmula de área de superfície para obter o integrando:
raiz1 + (fx)^2 + (fy)^2 = raiz1 + (-1)^2 + (-2)^2 = raiz6
Assim a área é integral duplaD raiz6 ,dA = raiz6 integral duplaD dA.

Passo 4

A região D no plano xy é o disco de raio 2, então
integral duplaD dA = pi cdot 2^2 = 4pi

Passo 5

Finalmente, multiplicando:
Área = raiz6 times 4pi = 4pi raiz6 Á

Resposta

4pi raiz6

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