Calcule a área da superfície S dada pela parte do plano z=3 x+4 y sobre o triângulo no plano x y com vértices (0,0),(1,0),(0,1). Resposta: \frac{\sqrt{26}}{2}.

Passo 1

O enunciado pede a área da superfície S definida pelo plano z=3x+4y sobre o triângulo R no plano xy com vértices (0,0), (1,0) e (0,1). Vamos usar a fórmula de área de superfície de um gráfico z=f(x,y).

Passo 2

A fórmula geral para a área de S é
\text{Área}(S)=\iint_{R}\sqrt{1 + f_x^2 + f_y^2}\,dA,Á
onde f_x e f_y são as derivadas parciais de f(x,y).

Passo 3

No nosso caso f(x,y)=3x+4y. Calculamos as derivadas: f_x=3 e f_y=4. Logo o integrando fica \sqrt{1 + 3^2 + 4^2} = \sqrt{1+9+16} = \sqrt{26}.

Passo 4

Como \sqrt{26} é constante, temos
\text{Área}(S) = \sqrt{26}\iint_{R}dA = \sqrt{26}\,\text{Área}(R).ÁÁ

Passo 5

O triângulo R tem base 1 e altura 1, então \text{Área}(R)=\tfrac12Á.

Passo 6

Substituindo em \text{Área}(S)Á:
\text{Área}(S) = \sqrt{26}\times \tfrac12 = \frac{\sqrt{26}}{2}.Á

Resposta

\displaystyle \frac{\sqrt{26}}{2}

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