Parametrize as superfícies:
a superfície do cilindro x^{2}+y^{2}=1 entre os planos z=0 e z=2.

Passo 1

O enunciado pede para parametrizar a superfície do cilindro
x^{2}+y^{2}=1
entre os planos z=0 e z=2.
O conteúdo envolvido é parametrização de superfícies usuais, e vamos usar coordenadas cilíndricas pois nelas um cilindro de raio constante fica muito simples de descrever.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas temos
x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad z=z.
Como a superfície é o cilindro de raio 1, fixamos r=1. Sobram dois parâmetros naturais: \theta varia ao redor do eixo entre 0 e 2\pi, e z varia entre 0 e 2.

Passo 3

Portanto, uma parametrização conveniente é
\mathbf{r}(\theta,z)=\bigl(\cos\theta,\;\sin\theta,\;z\bigr),
com domínio
0\le \theta\le 2\pi,\quad 0\le z\le 2.

Resposta

\mathbf{r}(\theta,z)=\bigl(\cos\theta,\sin\theta,z\bigr), \quad 0\le \theta\le 2\pi,\;0\le z\le 2.

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