Parametrize as superfícies:
a parte da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=9 localizada acima do plano z=\frac{3}{2} \cdot.

Passo 1

O enunciado pede para parametrizar a parte da esfera
x^{2}+y^{2}+z^{2}=9
que fica acima do plano
z=\tfrac{3}{2}.
O conteúdo aqui é parametrização de superfície usando coordenadas esféricas (ou cilíndricas) para descrever um “chapéu esférico”.

Passo 2

Em coordenadas esféricas centralizadas na origem temos as fórmulas
x = \rho\sin\varphi\cos\theta,\quad y = \rho\sin\varphi\sin\theta,\quad z = \rho\cos\varphi
onde \rho é o raio, \varphi é o ângulo polar (medido desde o eixo z) e \theta é o ângulo azimutal. Como estamos na esfera de raio 3, temos \rho=3.

Passo 3

Para cobrir apenas a parte acima de z=\tfrac{3}{2} impomos
z = 3\cos\varphi \;\ge\;\tfrac{3}{2} \quad\Longrightarrow\quad \cos\varphi \ge \tfrac12 \quad\Longrightarrow\quad \varphi \in [0,\tfrac{\pi}{3}].
\theta varia ao redor de toda a circunferência:
\theta\in[0,2\pi].

Passo 4

Substituindo \rho=3 e os limites de \varphi e \theta, a parametrização fica
\mathbf r(\varphi,\theta) = \bigl(3\sin\varphi\cos\theta,\;3\sin\varphi\sin\theta,\;3\cos\varphi\bigr),
com
0\le\varphi\le\tfrac{\pi}{3}, \quad 0\le\theta<2\pi.

Resposta

\mathbf r(\varphi,\theta) = \bigl(3\sin\varphi\cos\theta,\;3\sin\varphi\sin\theta,\;3\cos\varphi\bigr), \quad 0\le\varphi\le\tfrac{\pi}{3},\; 0\le\theta<2\pi.

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