Calcule a área de superfície S dada pela porção do paraboloide hiperbólico z=x^2-y^2, dentro do cilindro x^2+y^2=4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a área da superfície que é uma porção do paraboloide hiperbólico , limitada pelo cilindro . Vamos usar cálculo multivariável, especificamente integrais de superfície, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula para calcular a área de uma superfície dada por A = integral duplaD raiz1 + (partial zpartial x)^2 + (partial zpartial y)^2 , dx , dy . A área pode ser encontrada usando a integral dupla:
Aqui, é a região no plano sobre a qual estamos integrando.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de partial zpartial x = 2x e partial zpartial y = -2y em relação a A = integral duplaD raiz1 + (2x)^2 + (-2y)^2 , dx , dy = integral duplaD raiz1 + 4x^2 + 4y^2 , dx , dy e :
Então, substituindo na fórmula da área:

Passo 4

A região é definida pelo cilindro , que é um círculo de raio 2 no plano . Para facilitar a integração, vamos converter as coordenadas para coordenadas polares, onde e . O elemento de área em coordenadas polares é .

Passo 5

Substituindo 1 + 4x^2 + 4y^2 = 1 + 4r^2cos^2theta + 4r^2sin^2theta = 1 + 4r^2(cos^2theta + sin^2theta) = 1 + 4r^2 e A = integral0^2pi integral0^2 raiz1 + 4r^2 cdot r , dr , dtheta por e , a expressão dentro da raiz fica:
Então, a integral para a área fica:

Passo 6

Vamos resolver a integral interna em relação a integral0^2 r raiz1 + 4r^2 , dr :
18 integral1^17 raizu , du = 18 cdot 23 u^3/2 g|1^17 = 112 (17^3/2 - 1^3/2)
Fazendo uma substituição 112 (17raiz17 - 1) , então , ou seja, . Quando , , e quando , .
Substituindo na integral:
Calculando e :

Passo 7

Agora, vamos integrar em relação a A = integral0^2pi 112 (17raiz17 - 1) , dtheta = 112 (17raiz17 - 1) cdot 2pi = pi6 (17raiz17 - 1) :

Resposta

A área da superfície A = pi6 (17raiz17 - 1) é:

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