Calcule a área de superfície dada pela porção do paraboloide hiperbólico , dentro do cilindro .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a área da superfície que é uma porção do paraboloide hiperbólico , limitada pelo cilindro . Vamos usar cálculo multivariável, especificamente integrais de superfície, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a fórmula para calcular a área de uma superfície dada por . A área pode ser encontrada usando a integral dupla:
Aqui, é a região no plano sobre a qual estamos integrando.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e :
Então, substituindo na fórmula da área:
Passo 4
A região é definida pelo cilindro , que é um círculo de raio 2 no plano . Para facilitar a integração, vamos converter as coordenadas para coordenadas polares, onde e . O elemento de área em coordenadas polares é .
Passo 5
Substituindo e por e , a expressão dentro da raiz fica:
Então, a integral para a área fica:
Passo 6
Vamos resolver a integral interna em relação a :
Fazendo uma substituição , então , ou seja, . Quando , , e quando , .
Substituindo na integral:
Calculando e :
Passo 7
Agora, vamos integrar em relação a A = integral0^2pi 112 (17raiz17 - 1) , dtheta = 112 (17raiz17 - 1) cdot 2pi = pi6 (17raiz17 - 1) :