Calcule a integral de superfície escalar
onde
é a superfície paramétrica dada por
com
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral de superfície escalar, que é basicamente uma forma de somar valores sobre uma superfície. O enunciado nos dá a integral:
Aqui,
é uma superfície parametrizada por:
com os limites
e
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente integrais de superfície e parametrizações.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a parametrização
. Isso nos mostra como os pontos
na superfície
estão relacionados aos parâmetros
e
. Neste caso, parece que estamos descrevendo um círculo no plano XY com raio
, variando de 0 a 2, e
variando de 0 a
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a expressão para
, que é o elemento de área na superfície. Para isso, usamos a fórmula:
onde
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
, respectivamente, e
representa o produto vetorial.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais:
Passo 5
Agora, calculamos o produto vetorial
. No caso de vetores no plano, o produto vetorial resulta em um vetor perpendicular ao plano com magnitude igual à área do paralelogramo formado pelos dois vetores:
Sabemos que
, então:
Passo 6
Agora podemos expressar
:
Passo 7
Voltando à integral original, substituímos
pela expressão em termos de
e
. Como
e
:
Passo 8
Agora, substituímos tudo na integral:
Passo 9
Vamos resolver a integral em
primeiro:
Passo 10
Agora, integramos em
:
Resposta
A integral de superfície escalar vale
.