Calcule a integral de superfície escalar
integral duplaS raizx^2+y^2 d S
onde S é a superfície paramétrica dada por
r(u, v)=(u cos v, u sin v)
com 0 <= u <= 2 e 0 <= v <= 2 pi.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral de superfície escalar, que é basicamente uma forma de somar valores sobre uma superfície. O enunciado nos dá a integral:
integral duplaS raizx^2+y^2 , dS
Aqui, S é uma superfície parametrizada por:
r(u, v) = (u cos v, u sin v)
com os limites 0 <= u <= 2 e 0 <= v <= 2pi. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente integrais de superfície e parametrizações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a parametrização r(u, v) = (u cos v, u sin v). Isso nos mostra como os pontos (x, y) na superfície S estão relacionados aos parâmetros u e v. Neste caso, parece que estamos descrevendo um círculo no plano XY com raio u, variando de 0 a 2, e v variando de 0 a 2pi.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a expressão para dS, que é o elemento de área na superfície. Para isso, usamos a fórmula:
dS = |ru times rv| , du , dv
onde ru e rv são as derivadas parciais de r em relação a u e v, respectivamente, e times representa o produto vetorial.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais:
ru = partial rpartial u = (cos v, sin v)
rv = partial rpartial v = (-u sin v, u cos v)

Passo 5

Agora, calculamos o produto vetorial ru times rv. No caso de vetores no plano, o produto vetorial resulta em um vetor perpendicular ao plano com magnitude igual à área do paralelogramo formado pelos dois vetores:
ru times rv = cos v cdot u cos v - (-u sin v) cdot sin v = u (cos^2 v + sin^2 v)
Sabemos que cos^2 v + sin^2 v = 1, então:
|ru times rv| = u

Passo 6

Agora podemos expressar dS:
dS = u , du , dv

Passo 7

Voltando à integral original, substituímos raizx^2 + y^2 pela expressão em termos de u e v. Como x = u cos v e y = u sin v:
raizx^2 + y^2 = raiz(u cos v)^2 + (u sin v)^2 = raizu^2 (cos^2 v + sin^2 v) = raizu^2 = u

Passo 8

Agora, substituímos tudo na integral:
integral duplaS raizx^2+y^2 , dS = integral0^2pi integral0^2 u cdot u , du , dv = integral0^2pi integral0^2 u^2 , du , dv

Passo 9

Vamos resolver a integral em u primeiro:
integral0^2 u^2 , du = [ u^33 ]0^2 = 83 - 0 = 83

Passo 10

Agora, integramos em v:
integral0^2pi 83 , dv = 83 cdot (2pi - 0) = 16pi3

Resposta

A integral de superfície escalar vale dfrac16pi3.

Exercícios relacionados