A equação de demanda de um produto é p=1.000-x e seu custo mensal é C(x)=20 x+4.000. b) Se, para cada unidade vendida, a empresa tiver de arcar com um imposto igual $2,00, que preço deve ser cobrado para maximizar o lucro?

Passo 1

O enunciado dá a curva de demanda p = 1000 – x e o custo mensal C(x) = 20x + 4000. Agora consideramos um imposto de R$2,00 por unidade vendida. O conteúdo é maximização de lucro usando derivadas: vamos precisar montar a função lucro, derivá-la e achar seu ponto de máximo.

Passo 2

Primeiro calculamos a receita R(x) e o custo total incluindo imposto. A receita é
R(x)=xcdot p=x(1000 - x)
O custo total passa a ser
Ctot(x)=20x + 4000 + 2x = 22x + 4000
Então o lucro é
pi(x)=R(x)-Ctot(x)=x(1000 - x)-(22x+4000)=-x^2+978x-4000

Passo 3

Agora usamos derivada para achar o máximo. Calculamos
pi'(x)=ddx(-x^2+978x-4000)=-2x+978
Igualando a zero para ponto crítico:
-2x+978=0Rightarrow x=489

Passo 4

Com a quantidade ótima x = 489 unidades, o preço ótimo pela demanda é
p=1000 - x = 1000 - 489 = 511
Ou seja, para maximizar o lucro considerando o imposto, deve-se cobrar R$511,00 por unidade.

Resposta

R$511,00

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