A equação de demanda de um produto é p=30-5 ln x. b) Ache o valor de x que maximiza a receita.

Passo 1

Resumo do enunciado: a demanda do produto é dada por p = 30 - 5 ln x e queremos encontrar o valor de x que maximiza a receita. O conteúdo envolve maximização de funções usando derivadas.

Passo 2

Para obter a receita, lembramos que receita é preço vezes quantidade. Assim, definimos a função receita R(x) como:
R(x) = x cdot p(x) = x(30 - 5 ln x) = 30x - 5x ln x

Passo 3

Calculamos a derivada de R(x) e achamos o ponto crítico. Usando a regra do produto e ddx(xln x)=ln x +1, temos:
R'(x) = 30 - 5(ln x + 1) = 25 - 5 ln x

Passo 4

Igualando a zero para maximizar:
25 - 5 ln x = 0 Rightarrow ln x = 5 Rightarrow x = e^5

Passo 5

Para confirmar que é máximo, usamos a segunda derivada:
R''(x) = ddx(25 - 5ln x) = -5 1x, que é negativa para todo x>0, garantindo um máximo.

Resposta

x = e^5

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