Encontre o conjunto fundamental de soluções y1, y2 para equação diferencial
y^prime prime+5 y^prime+6 y=0
que satisfaçam as condições
l l y1(0)=1 y1^prime(0)=0 e l y2(0)=0 y2^prime(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para encontrar duas soluções independentes y1 e y2 da equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 5y' + 6y = 0
de modo que elas satisfaçam condições iniciais específicas em x=0. Vamos usar o método de equação característica para resolver.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a equação característica associada:
r^2 + 5r + 6 = 0
Resolvendo essa equação de segundo grau, achamos as raízes:
r = -2, r = -3

Passo 3

Com as raízes r1 = -2 e r2 = -3, a solução geral da equação diferencial é
y(x) = C1 e^-2x + C2 e^-3x

Passo 4

Para encontrar y1, impomos as condições
y1(0)=1, y1'(0)=0
Primeiro, de y1(0)=1 vem
C1 + C2 = 1,
e a derivada é
y1'(x) = -2C1 e^-2x - 3C2 e^-3x,
logo y1'(0)=0
-2C1 - 3C2 = 0
Resolvendo o sistema
C1 + C2 = 1, -2C1 - 3C2 = 0,
obtemos C1 = 3 e C2 = -2. Portanto
y1(x) = 3e^-2x - 2e^-3x

Passo 5

Para encontrar y2, usamos as condições
y2(0)=0, y2'(0)=1
Da condição y2(0)=0 vem
C1 + C2 = 0,
e de y2'(0)=1
-2C1 - 3C2 = 1
Resolvendo
C1 + C2 = 0, -2C1 - 3C2 = 1,
achamos C1 = 1 e C2 = -1. Assim
y2(x) = e^-2x - e^-3x

Resposta

y1,y2 = ,3e^-2x - 2e^-3x, e^-2x - e^-3x

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