Encontre o conjunto fundamental de soluções
para equação diferencial
que satisfaçam as condições
Passo 1
O enunciado pede para encontrar duas soluções independentes
e
da equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
de modo que elas satisfaçam condições iniciais específicas em
. Vamos usar o método de equação característica para resolver.
Passo 2
Primeiro, escrevemos a equação característica associada:
Resolvendo essa equação de segundo grau, achamos as raízes:
Passo 3
Com as raízes
e
, a solução geral da equação diferencial é
Passo 4
Para encontrar
, impomos as condições
Primeiro, de
vem
e a derivada é
logo
dá
Resolvendo o sistema
obtemos
e
. Portanto
Passo 5
Para encontrar
, usamos as condições
Da condição
vem
e de
Resolvendo
achamos
e
. Assim