Calcule a área da superfície esférica de equação
. [Dica: Coord. Esfericas.]
Passo 1
O enunciado pede a área da superfície descrita pela esfera de raio “a”, dada por “x^2 + y^2 + z^2 = a^2”. Vamos usar coordenadas esféricas e o conceito de integral de superfície para calcular essa área.
Passo 2
Em coordenadas esféricas, cada ponto da esfera de raio “a” pode ser parametrizado pelas variáveis angulares “
” (azimute, de 0 a 2
) e “
” (colatitude, de 0 a
). A parametrização é
Passo 3
Para obter o elemento de área “dS” na superfície, calculamos o produto vetorial dos vetores parciais “
” e “
” e tomamos sua magnitude. O resultado padrão para uma esfera de raio constante é
Passo 4
Agora montamos a integral dupla sobre o domínio de “
” de 0 a 2
e de “
” de 0 a
:
Passo 5
Primeiro integramos em “
”:
Logo a integral fica