Calcule a área da superfície esférica de equação x^2+y^2+z^2=a^2. [Dica: Coord. Esfericas.]

Passo 1

O enunciado pede a área da superfície descrita pela esfera de raio “a”, dada por “x^2 + y^2 + z^2 = a^2”. Vamos usar coordenadas esféricas e o conceito de integral de superfície para calcular essa área.

Passo 2

Em coordenadas esféricas, cada ponto da esfera de raio “a” pode ser parametrizado pelas variáveis angulares “ theta” (azimute, de 0 a 2 pi) e “ varphi” (colatitude, de 0 a pi). A parametrização é
r(theta,varphi) = (asinvarphicostheta,;asinvarphisintheta,;acosvarphi)

Passo 3

Para obter o elemento de área “dS” na superfície, calculamos o produto vetorial dos vetores parciais “ rtheta” e “ rvarphi” e tomamos sua magnitude. O resultado padrão para uma esfera de raio constante é
dS = a^2,sinvarphi,dvarphi,dtheta

Passo 4

Agora montamos a integral dupla sobre o domínio de “ theta” de 0 a 2 pi e de “ varphi” de 0 a pi:
A = integraltheta=0^2piintegralvarphi=0^pi a^2sinvarphi,dvarphi,dtheta

Passo 5

Primeiro integramos em “ varphi”:
integral0^pi sinvarphi,dvarphi = 2,
Logo a integral fica
A = a^2 integral0^2pi 2,dtheta = 2a^2 l[thetar]0^2pi = 4pi a^2

Resposta

4pi a^2

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