Calcule a área da superfície
Exercício 2. Calcule a área da parte do plano \frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1, onde a, b, c são números positivos dados, no primeiro octante.

Passo 1

O enunciado pede a área da porção do plano \frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1 que fica no primeiro octante. Informações dadas importantes:
  • a,b,c são números positivos dados.
  • “Primeiro octante” significa x\ge 0, y\ge 0, z\ge 0.
  • O plano intercepta os eixos em (a,0,0), (0,b,0) e (0,0,c).
    A tarefa é calcular a área dessa parte do plano limitada pelos planos coordenados.

Passo 2

Escolha do método (explicação didática simples): como o plano pode ser escrito como função z=f(x,y) (ou seja, z em função de x,y), é natural projetar a região sobre o plano xy e usar a fórmula de área de superfície para gráficos z=f(x,y). Vou explicar essa fórmula de forma direta e intuitiva.
Fórmula de área de superfície (intuição e enunciado):
  • Se uma superfície é dada por z=f(x,y) sobre uma região D no plano xy, então a área da superfície é
\text{Área}=\iint_{D}\sqrt{1+f_x(x,y)^2+f_y(x,y)^2}\,dA.Á
  • Intuição: um pequeno retângulo no plano xy com área dA é levado para um pequeno paralelogramo na superfície cuja área é aproximadamente \sqrt{1+f_x^2+f_y^2}\,dA. Por isso a raiz aparece.

Passo 3

Escrever o plano como z=f(x,y) e calcular derivadas parciais.
Da equação do plano temos
\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1.
Isolando z,
z = c\Big(1-\frac{x}{a}-\frac{y}{b}\Big).
Assim definimos f(x,y)=c\big(1-\frac{x}{a}-\frac{y}{b}\big).
As derivadas parciais são constantes (porque é um plano):
f_x(x,y)=\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{c}{a},\qquad f_y(x,y)=\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{c}{b}.
Portanto o integrando da fórmula de área é a constante
\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}=\sqrt{1+\Big(\frac{c}{a}\Big)^2+\Big(\frac{c}{b}\Big)^2}.

Passo 4

Determinar a região D de projeção no plano xy e calcular sua área.
A condição z\ge 0 corresponde a
c\Big(1-\frac{x}{a}-\frac{y}{b}\Big)\ge 0\quad\Longleftrightarrow\quad \frac{x}{a}+\frac{y}{b}\le 1,
com x\ge 0,\;y\ge 0. Logo D é o triângulo no primeiro quadrante com vértices (0,0), (a,0) e (0,b). A área desse triângulo é
\text{Área}(D)=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b=\frac{ab}{2},Á
pois a base pode ser tomada como a e a altura como b.

Passo 5

Aplicar a fórmula de área: como o integrando é constante, a integral é o produto do integrando pela área de D.
\text{Área}=\iint_{D}\sqrt{1+\Big(\frac{c}{a}\Big)^2+\Big(\frac{c}{b}\Big)^2}\,dA = \sqrt{1+\Big(\frac{c}{a}\Big)^2+\Big(\frac{c}{b}\Big)^2}\cdot \frac{ab}{2}.Á
Agora faço uma simplificação algébrica para obter uma forma mais simétrica. Dentro da raiz:
1+\Big(\frac{c}{a}\Big)^2+\Big(\frac{c}{b}\Big)^2=\frac{a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2}{a^2b^2}.
Multiplicando por \frac{ab}{2} resulta
\text{Área}=\frac{ab}{2}\sqrt{\frac{a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2}{a^2b^2}} =\frac{1}{2}\sqrt{a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2}.Á

Passo 6

Interpretação rápida e checagem: a expressão final é simétrica em permutações de (a,b,c) quando consideramos os produtos a^2b^2, b^2c^2, a^2c^2, o que faz sentido geometricamente (trocar nomes dos eixos apenas renomeia as intercepções). Em casos especiais:
  • Se c\to 0 a superfície colapsa para o triângulo no plano z=0 e a fórmula dá \tfrac{1}{2}\sqrt{a^2b^2}=\tfrac{ab}{2}, que é a área do triângulo D (coerente).
  • Para conferir numericamente, escolhe a=b=c=1: a área dá \tfrac{1}{2}\sqrt{1+1+1}=\tfrac{\sqrt{3}}{2}, compatível com cálculo direto.

Resposta

\frac{1}{2}\sqrt{a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+a^{2}c^{2}}

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