Calcule a área da superfície
Exercício 2. Calcule a área da parte do plano
, onde
são números positivos dados, no primeiro octante.
Exercício 2. Calcule a área da parte do plano
Passo 1
O enunciado pede a área da porção do plano
que fica no primeiro octante. Informações dadas importantes:
-
são números positivos dados. - “Primeiro octante” significa
, , . - O plano intercepta os eixos em
, e .
A tarefa é calcular a área dessa parte do plano limitada pelos planos coordenados.
Passo 2
Escolha do método (explicação didática simples): como o plano pode ser escrito como função
(ou seja,
em função de
), é natural projetar a região sobre o plano
e usar a fórmula de área de superfície para gráficos
. Vou explicar essa fórmula de forma direta e intuitiva.
Fórmula de área de superfície (intuição e enunciado):
- Se uma superfície é dada por
sobre uma região no plano , então a área da superfície é
- Intuição: um pequeno retângulo no plano
com área é levado para um pequeno paralelogramo na superfície cuja área é aproximadamente . Por isso a raiz aparece.
Passo 3
Escrever o plano como
e calcular derivadas parciais.
Da equação do plano temos
Da equação do plano temos
Isolando
,
Assim definimos
.
As derivadas parciais são constantes (porque é um plano):
Portanto o integrando da fórmula de área é a constante
Passo 4
Determinar a região
de projeção no plano
e calcular sua área.
A condição corresponde a
A condição
com
. Logo
é o triângulo no primeiro quadrante com vértices
,
e
. A área desse triângulo é
pois a base pode ser tomada como
e a altura como
.
Passo 5
Aplicar a fórmula de área: como o integrando é constante, a integral é o produto do integrando pela área de
.
Agora faço uma simplificação algébrica para obter uma forma mais simétrica. Dentro da raiz:
Multiplicando por
resulta
Passo 6
Interpretação rápida e checagem: a expressão final é simétrica em permutações de
quando consideramos os produtos
,
,
, o que faz sentido geometricamente (trocar nomes dos eixos apenas renomeia as intercepções). Em casos especiais:
- Se
a superfície colapsa para o triângulo no plano e a fórmula dá , que é a área do triângulo (coerente). - Para conferir numericamente, escolhe
: a área dá , compatível com cálculo direto.