(2,5 pontos)
Encontre o vetor unitário u em que
é máximo, sendo
Passo 1
O enunciado pede: encontrar o vetor unitário
tal que a derivada direcional
seja máxima, dada a função
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
Passo 2
O que é a derivada direcional? Intuitivamente,
mede a taxa de variação de
no ponto
quando nos movemos na direção do vetor unitário
. Formalmente, usando limite:
onde
e supomos
.
Passo 3
Fato importante (e útil na prova): se
é diferenciável no ponto
, então a derivada direcional pode ser escrita usando o gradiente:
Aqui
é o vetor gradiente das derivadas parciais em
e ``
’’ é o produto escalar. Explicando: a diferencial linear aproxima a variação de
por
, dividindo por
dá
. Portanto basta trabalhar com esse produto escalar.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais de
. Use regra do produto e potência:
Logo o gradiente é
Passo 5
Avaliaremos o gradiente no ponto
. Substituindo
e
em
:
Passo 6
Agora usamos a expressão da derivada direcional em termos do gradiente:
Como
é unitário, podemos interpretar o produto escalar pela fórmula
onde
é o ângulo entre
e
. Para maximizar
com
fixo, devemos fazer
, ou seja, escolher
na mesma direção de
.
Passo 7
Calculamos a norma de
:
O vetor unitário na direção de
é obtido normalizando:
Passo 8
Verificação rápida: a norma de
é
portanto
é realmente unitário. Além disso, escolhendo essa
obtemos a derivada direcional máxima cujo valor é
(apenas para referência).