(2,5 pontos)
Encontre o vetor unitário u em que
\frac{\partial f}{\partial u}(1,1)
é máximo, sendo
f(x, y)=x^{2} y .

Passo 1

O enunciado pede: encontrar o vetor unitário \mathbf{u} tal que a derivada direcional \frac{\partial f}{\partial u}(1,1) seja máxima, dada a função
f(x,y)=x^{2}y.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
\text{(i) } f(x,y)=x^{2}y,\qquad \text{(ii) ponto }(1,1),\qquad \text{(iii) procuramos um vetor unitário } \mathbf{u}.á

Passo 2

O que é a derivada direcional? Intuitivamente, \frac{\partial f}{\partial u}(a,b) mede a taxa de variação de f no ponto (a,b) quando nos movemos na direção do vetor unitário \mathbf{u}. Formalmente, usando limite:
\frac{\partial f}{\partial u}(a,b)=\lim_{h\to 0}\frac{f\big(a+h u_1,\;b+h u_2\big)-f(a,b)}{h},
onde \mathbf{u}=(u_1,u_2) e supomos \|\mathbf{u}\|=1.

Passo 3

Fato importante (e útil na prova): se f é diferenciável no ponto (a,b), então a derivada direcional pode ser escrita usando o gradiente:
\frac{\partial f}{\partial u}(a,b)=\nabla f(a,b)\cdot \mathbf{u}.
Aqui \nabla f(a,b) é o vetor gradiente das derivadas parciais em (a,b) e `` \cdot’’ é o produto escalar. Explicando: a diferencial linear aproxima a variação de f por \nabla f\cdot (h u_1,h u_2), dividindo por h \nabla f\cdot\mathbf{u}. Portanto basta trabalhar com esse produto escalar.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais de f(x,y)=x^{2}y. Use regra do produto e potência:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=2x\cdot y=2xy,
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=x^{2}.
Logo o gradiente é
\nabla f(x,y)=\big(2xy,\;x^{2}\big).

Passo 5

Avaliaremos o gradiente no ponto (1,1). Substituindo x=1 e y=1 em \nabla f:
\nabla f(1,1)=\big(2\cdot 1\cdot 1,\;1^{2}\big)=(2,1).

Passo 6

Agora usamos a expressão da derivada direcional em termos do gradiente:
\frac{\partial f}{\partial u}(1,1)=\nabla f(1,1)\cdot \mathbf{u}=(2,1)\cdot (u_1,u_2)=2u_1+1\cdot u_2.
Como \mathbf{u} é unitário, podemos interpretar o produto escalar pela fórmula
\nabla f(1,1)\cdot \mathbf{u}=\|\nabla f(1,1)\|\,\|\mathbf{u}\|\,\cos\theta=\|\nabla f(1,1)\|\cos\theta,
onde \theta é o ângulo entre \nabla f(1,1) e \mathbf{u}. Para maximizar \|\nabla f(1,1)\|\cos\theta com \|\nabla f(1,1)\| fixo, devemos fazer \cos\theta=1, ou seja, escolher \mathbf{u} na mesma direção de \nabla f(1,1).

Passo 7

Calculamos a norma de \nabla f(1,1)=(2,1):
\|\nabla f(1,1)\|=\sqrt{2^{2}+1^{2}}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}.
O vetor unitário na direção de (2,1) é obtido normalizando:
\mathbf{u}=\frac{\nabla f(1,1)}{\|\nabla f(1,1)\|}=\frac{(2,1)}{\sqrt{5}}=\left(\frac{2}{\sqrt{5}},\frac{1}{\sqrt{5}}\right).

Passo 8

Verificação rápida: a norma de \mathbf{u} é
\sqrt{\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)^{2}+\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4}{5}+\frac{1}{5}}=\sqrt{1}=1,
portanto \mathbf{u} é realmente unitário. Além disso, escolhendo essa \mathbf{u} obtemos a derivada direcional máxima cujo valor é \|\nabla f(1,1)\|=\sqrt{5} (apenas para referência).

Resposta

\displaystyle \left(\frac{2}{\sqrt{5}},\frac{1}{\sqrt{5}}\right)

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