4. (2,5 pontos)
Encontre os pontos críticos de
e descreva a natureza deles (se é ponto de máximo local, mínimo local ou ponto de sela).
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: encontrar os pontos críticos da função
e descrever a natureza de cada ponto crítico (máximo local, mínimo local ou ponto de sela).
Informações dadas: a expressão explícita de acima. Não há outras restrições nem parâmetros.
Informações dadas: a expressão explícita de
Passo 2
Para achar pontos críticos precisamos calcular as derivadas parciais primeiras de
em relação a
e a
e igualá‑las a zero. Vou explicar o porquê e como fazer isso:
- A derivada parcial
mede a variação de quando só alteramos , mantendo fixo. - A derivada parcial
mede a variação de quando só alteramos , mantendo fixo. - Um ponto crítico ocorre quando ambas as derivadas parciais são zero, isto é, quando o vetor gradiente é o vetor nulo.
Calculemos as parciais:
Passo 3
Agora resolvemos o sistema
Vou resolver por eliminação (passo a passo, sem pular):
Da primeira equação obtemos
Substituindo esse
:
Calcule o coeficiente de
:
Então temos
Agora voltamos para
:
Colocando em denominador comum:
Portanto o único ponto crítico é
Passo 4
Para classificar o ponto crítico usamos as derivadas segundas e o teste das segundas derivadas para funções de duas variáveis. Primeiro calculamos as derivadas segundas (a matriz Hessiana):
As derivadas segundas são
A matriz Hessiana fica
que aqui é constante (não depende de
) porque
é um polinômio quadrático.]
Passo 5
Vou explicar o teste das segundas derivadas (para duas variáveis) de forma direta e intuitiva:
- Definimos
. - Se
e , então o ponto crítico é um mínimo local. - Se
e , então o ponto crítico é um máximo local. - Se
, o ponto crítico é um ponto de sela. - Se
, o teste é inconclusivo.
Agora aplicamos ao nosso caso: calculemos
:
Temos
e
. Portanto, pelo teste, o ponto crítico é um mínimo local.
Passo 6
Como curiosidade útil (e para você poder dar o valor numérico na prova, se pedirem o valor mínimo), podemos calcular o valor de
no ponto crítico. Substituindo
e
em
:
Calculei termo a termo (todos com denominador
) e cheguei a
Isto confirma que o ponto encontrado é, de fato, um mínimo local com valor
.
Resposta
Ponto crítico:
.
Natureza: mínimo local.
Valor mínimo em tal ponto: .
Natureza: mínimo local.
Valor mínimo em tal ponto: