4. (2,5 pontos)

Encontre os pontos críticos de
f(x, y)=x^{2}+3 x y+4 y^{2}-6 x+2 y
e descreva a natureza deles (se é ponto de máximo local, mínimo local ou ponto de sela).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: encontrar os pontos críticos da função
f(x,y)=x^{2}+3xy+4y^{2}-6x+2y
e descrever a natureza de cada ponto crítico (máximo local, mínimo local ou ponto de sela).
Informações dadas: a expressão explícita de f(x,y) acima. Não há outras restrições nem parâmetros.

Passo 2

Para achar pontos críticos precisamos calcular as derivadas parciais primeiras de f em relação a x e a y e igualá‑las a zero. Vou explicar o porquê e como fazer isso:
  • A derivada parcial \frac{\partial f}{\partial x} mede a variação de f quando só alteramos x, mantendo y fixo.
  • A derivada parcial \frac{\partial f}{\partial y} mede a variação de f quando só alteramos y, mantendo x fixo.
  • Um ponto crítico ocorre quando ambas as derivadas parciais são zero, isto é, quando o vetor gradiente é o vetor nulo.
Calculemos as parciais:
\frac{\partial f}{\partial x}= \text{derivando termo a termo em relação a \(x\)} = 2x + 3y - 6çã
\frac{\partial f}{\partial y}= \text{derivando termo a termo em relação a \(y\)} = 3x + 8y + 2çã

Passo 3

Agora resolvemos o sistema \nabla f(x,y)=0\), ou seja: \[\begin{cases} 2x+3y-6=0,\\[4pt] 3x+8y+2=0. \end{cases}
Vou resolver por eliminação (passo a passo, sem pular):
Da primeira equação obtemos
2x = 6-3y \quad\Rightarrow\quad x = 3 - \tfrac{3}{2}y.
Substituindo esse x\] na segunda equação: \[3\bigl(3-\tfrac{3}{2}y\bigr) + 8y + 2 = 0.\] Desenvolvendo: \[9 - \tfrac{9}{2}y + 8y + 2 = 0.\] Juntando termos constantes e termos em \(y:
11 + \bigl(-\tfrac{9}{2} + 8\bigr)y = 0.
Calcule o coeficiente de y:
-\tfrac{9}{2} + 8 = -\tfrac{9}{2} + \tfrac{16}{2} = \tfrac{7}{2}.
Então temos
11 + \tfrac{7}{2}y = 0 \quad\Rightarrow\quad \tfrac{7}{2}y = -11 \quad\Rightarrow\quad y = -\dfrac{11}{(7/2)} = -\dfrac{22}{7}.
Agora voltamos para x = 3 - \tfrac{3}{2}y:
x = 3 - \tfrac{3}{2}\!\left(-\dfrac{22}{7}\right) = 3 + \dfrac{66}{14} = 3 + \dfrac{33}{7}.
Colocando em denominador comum:
x = \dfrac{21}{7} + \dfrac{33}{7} = \dfrac{54}{7}.
Portanto o único ponto crítico é
\left(\dfrac{54}{7}, -\dfrac{22}{7}\right).]

Passo 4

Para classificar o ponto crítico usamos as derivadas segundas e o teste das segundas derivadas para funções de duas variáveis. Primeiro calculamos as derivadas segundas (a matriz Hessiana):
As derivadas segundas são
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} = f_{xx} = 2, \qquad \frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y} = f_{xy} = 3, \qquad \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} = f_{yy} = 8.
A matriz Hessiana fica
H(x,y)=\begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\[4pt] f_{xy} & f_{yy} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2 & 3 \\[4pt] 3 & 8 \end{pmatrix},
que aqui é constante (não depende de x,y) porque f é um polinômio quadrático.]

Passo 5

Vou explicar o teste das segundas derivadas (para duas variáveis) de forma direta e intuitiva:
  • Definimos D = \det(H) = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^{2}.
  • Se D>0 e f_{xx}>0, então o ponto crítico é um mínimo local.
  • Se D>0 e f_{xx}<0, então o ponto crítico é um máximo local.
  • Se D<0, o ponto crítico é um ponto de sela.
  • Se D=0, o teste é inconclusivo.
Agora aplicamos ao nosso caso: calculemos D:
D = 2\cdot 8 - 3^{2} = 16 - 9 = 7.
Temos D=7>0 e f_{xx}=2>0. Portanto, pelo teste, o ponto crítico é um mínimo local.

Passo 6

Como curiosidade útil (e para você poder dar o valor numérico na prova, se pedirem o valor mínimo), podemos calcular o valor de f no ponto crítico. Substituindo \displaystyle x=\dfrac{54}{7} e \displaystyle y=-\dfrac{22}{7} em f:
Calculei termo a termo (todos com denominador 49) e cheguei a
f\!\left(\dfrac{54}{7}, -\dfrac{22}{7}\right) = -\dfrac{184}{7}.
Isto confirma que o ponto encontrado é, de fato, um mínimo local com valor f=-\dfrac{184}{7}.

Resposta

Ponto crítico: \left(\dfrac{54}{7}, -\dfrac{22}{7}\right).
Natureza: mínimo local.
Valor mínimo em tal ponto: f\!\left(\dfrac{54}{7}, -\dfrac{22}{7}\right) = -\dfrac{184}{7}.

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