Calcule a área da superfície gerada pela rotação do arco da curva dado, em torno do eixo indicado.
y=raiz5-x, 3 <= x <= 5, ao redor do eixo x.

Passo 1

O enunciado pede a área da superfície obtida ao girar, em torno do eixo x, o arco da curva
y = raiz5 - x, 3 <= x <= 5
Este é um problema de superfície de revolução. A fórmula que vamos usar é
S = 2pi integrala^b y ,raiz1 + l(y'r)^2;dx,
com a=3 e b=5. Precisamos calcular y', montar o integrando yraiz1+(y')^2 e então avaliar a integral.

Passo 2

Primeiro calculamos a derivada de
y = (5 - x)^1/2
Temos
y' = ddx(5 - x)^1/2 = 12 (5 - x)^-1/2cdot(-1) = -12raiz5 - x
Logo
1 + (y')^2 = 1 + 14(5 - x) = 4(5 - x) + 14(5 - x) = 21 - 4x4(5 - x)
Assim
raiz1 + (y')^2 = raiz21 - 4x2raiz5 - x = raiz21 - 4x2,y
Portanto o integrando fica
y,raiz1 + (y')^2 = y;raiz21 - 4x2,y = raiz21 - 4x2
Substituindo em S,
S = 2pi integral3^5 raiz21 - 4x2;dx = pi integral3^5 raiz21 - 4x;dx

Passo 3

Para avaliar
integral3^5raiz21 - 4x;dx
fazemos a substituição u = 21 - 4x, de modo que du = -4,dx e dx = -tfrac14,du. Quando x=3, u=21-12=9; quando x=5, u=21-20=1. Assim
integral3^5raiz21 - 4x;dx = integralu=9^u=1 raizu;l(-tfrac14r),du = 14integral1^9 u^1/2,du = 14,gl[23u^3/2gr]1^9 = 16l(9^3/2-1^3/2r) = 16(27 - 1) = 266 = 133
Logo
S = pi times 133 = 13pi3

Resposta

13pi3

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