a) em que é a região delimitada por .

Passo 1

O enunciado pede avaliar a integral dupla
integral duplaD (2x + 4y^2),dx,dy
onde D é a região em que 0 <= x <= 2 e -x <= y <= 2.
O conteúdo é integração em coordenadas cartesianas usando integral iterada.

Passo 2

Montamos a integral iterada nesta ordem:
integral duplaD (2x + 4y^2),dx,dy =integralx=0^2!integraly=-x^2 (2x+4y^2),dy,dx

Passo 3

Primeiro integramos em y, tratando x como constante:
integral (2x + 4y^2),dy =2x,y + 4,y^33

Passo 4

Agora avaliamos de y=-x a y=2, obtendo função de x:
F(x) =l[2x,y + 4,y^33r]y=-x^y=2 = l(4x + tfrac323r);-;l(-2x^2-tfrac4x^33r) = 2x^2+4x+4x^33+323

Passo 5

Integramos F(x) de 0 a 2:
integral0^2l(2x^2+4x+4x^33+323r)dx =integral0^22x^2dx +integral0^24x,dx +integral0^24x^33dx +integral0^2323dx
Calculando cada termo:
integral0^22x^2dx=163,
integral0^24x,dx=8,
integral0^24x^33dx=163,
integral0^2323dx=643
Somando:
163+8+163+643 =963+8 =32+8 =40

Resposta

40

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