Calcule a área da superfície gerada pela rotação do arco da curva dado, em torno do eixo indicado.
y^2=x+1,0 <= x <= 3, ao redor do eixo x.

Passo 1

O enunciado pede a área da superfície obtida ao girar, em torno do eixo x, o arco da curva
y^2=x+1, 0 <= x <= 3
Vamos tomar a parte positiva y=raizx+1. O método é usar a fórmula da área de superfície por revolução em torno de x:
S = 2pi integrala^b y,raiz1+l(y'r)^2;dx

Passo 2

Encontrar a derivada y'. Como y=raizx+1, temos
y' = ddxl(x+1r)^1/2 = 12raizx+1

Passo 3

Calcular o integrando y,raiz1+(y')^2.
1 + (y')^2 = 1 + 14(x+1) = 4(x+1)+14(x+1) = 4x+54(x+1),
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raiz1+(y')^2 = raiz4x+52raizx+1
Multiplicando por y=raizx+1
y,raiz1+(y')^2 = raizx+1;raiz4x+52raizx+1 = 12,raiz4x+5

Passo 4

Substituir na fórmula de S:
S = 2pi integral0^3 12,raiz4x+5;dx = pi integral0^3 raiz4x+5;dx

Passo 5

Fazer a mudança de variável u=4x+5, du=4,dx. Quando x=0, u=5; quando x=3, u=17.
integral0^3 raiz4x+5;dx = integral5^17 raizu,du4 = 14,23l[u^3/2r]5^17 = 16l(17^3/2-5^3/2r)
Portanto,
S = pi cdot 16l(17raiz17-5raiz5r)

Resposta

S = pi6,l(17raiz17-5raiz5r)

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