Função sobrejetora e dada por f(x)=c2 x, se x in[0,1) a(x-3)+5, se x in[1,4]. Para quais valores do parâmetro a a função f tem inversa?
Escolha uma opção:
a. Somente para a=32.
b. a >= 32
c. Somente para a=-52 e a=34.
d. Somente para a=-3 e a=32.
e. -3 <= a <= 32 e a neq 0
Limpar minha escolha

Passo 1

O enunciado define a função
e diz que ela já é sobrejetora. Para ter inversa precisamos que a função é injetiva.

Passo 2

Verificamos a injetividade em cada ramo:
– No ramo xmapsto2x em [0,1), a função é estritamente crescente, logo injetiva.
– No ramo xmapsto a(x-3)+5 em [1,4], trata-se de reta de coeficiente angular a, que é injetiva se e somente se aneq0.

Passo 3

Para garantir injetividade global, os valores de saída dos dois ramos não podem se sobrepor. O primeiro ramo atinge
Im(f|[0,1))=[0,2)
O segundo ramo tem
f(1)=5-2a, f(4)=5+a,
e por ser reta atinge o intervalo
Im(f|[1,4]) =l[min(5-2a,,5+a),;max(5-2a,,5+a)r]

Passo 4

Para que esses dois intervalos não se sobreponham, Im(f|[1,4]) deve ficar todo acima de [0,2) (não há como ficar abaixo de 0). Logo exigimos
min(5-2a,,5+a)>=2
Isso equivale a resolver simultaneamente
5-2a>=2Longrightarrow a<=32,
5+a>=2Longrightarrow a>=-3
Assim obtemos
-3<= a<=32

Passo 5

Já vimos que precisamos ainda de aneq0 para que o segundo ramo seja injetivo. Combinando, o conjunto de a que torna f injetiva é
-3<= a<=32, aneq0

Resposta

e. -3 <= a <= tfrac32 e aneq0

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