Função sobrejetora e dada por
. Para quais valores do parâmetro
a função
tem inversa?
Escolha uma opção:
a. Somente para
.
b.
c. Somente para
e
.
d. Somente para
e
.
e.
e
Limpar minha escolha
Escolha uma opção:
a. Somente para
b.
c. Somente para
d. Somente para
e.
Limpar minha escolha
Passo 1
O enunciado define a função
e diz que ela já é sobrejetora. Para ter inversa precisamos que a função é injetiva.
Passo 2
Verificamos a injetividade em cada ramo:
– No ramo em
, a função é estritamente crescente, logo injetiva.
– No ramo em
, trata-se de reta de coeficiente angular
, que é injetiva se e somente se
.
– No ramo
– No ramo
Passo 3
Para garantir injetividade global, os valores de saída dos dois ramos não podem se sobrepor. O primeiro ramo atinge
O segundo ramo tem
e por ser reta atinge o intervalo
Passo 4
Para que esses dois intervalos não se sobreponham,
deve ficar todo acima de
(não há como ficar abaixo de
). Logo exigimos
Isso equivale a resolver simultaneamente
Assim obtemos
Passo 5
Já vimos que precisamos ainda de
para que o segundo ramo seja injetivo. Combinando, o conjunto de
que torna
injetiva é
Resposta
e.
e