Calcule a área da superfície gerada pela rotação do arco da curva y=e^x+e^-x2, 0 <= x <= 2, em torno do eixo x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área da superfície que é gerada quando a curva $ y = \frac{e^{x} + e^{-x}}{2} $ no intervalo de $ 0 \leq x \leq 2 $ é girada ao redor do eixo $ x $. Isso envolve conhecimentos de cálculo, especificamente cálculo de superfícies de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula para encontrar a área da superfície gerada pela rotação de uma curva $ y = f(x) $ ao redor do eixo $ x $. A fórmula é:
y = f(x)
Aqui, $ a $ e $ b $ são os limites do intervalo, $ y $ é a função que está sendo girada, e $ \frac{dy}{dx} $ é a derivada de $ y $ em relação a $ x $.

Passo 3

Vamos identificar os valores que temos:
  • $ y = \frac{e^{x} + e^{-x}}{2} $
  • Intervalo: $ a = 0 $ e $ b = 2 $
Primeiro, encontramos a derivada de $ y $ em relação a $ x $:
y = e^x + e^-x2

Passo 4

Agora, vamos calcular $ 1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 $:
1 + (dydx)^2
Vamos simplificar isso:
1 + (dydx)^2 = 1 + (e^x - e^-x2)^2
Então:
(e^x - e^-x2)^2 = e^2x - 2 + e^-2x4

Passo 5

Perceba que $ e^{2x} + e^{-2x} $ é igual a $ 2\cosh(2x) $, mas vamos mantê-lo em termos de exponenciais para facilitar a integração.
Então, a expressão dentro da raiz fica:
e^2x + e^-2x

Passo 6

Agora, substituímos $ y $ e a expressão que acabamos de encontrar na fórmula da área:
y
Simplificando:
S = 2pi integral0^2 e^x + e^-x2 cdot raize^2x + e^-2x + 22 , dx
Porque $ e^{2x} + e^{-2x} + 2 = (e^{x} + e{-x})2 $.

Passo 7

A raiz quadrada de $ (e^{x} + e{-x})2 $ é $ e^{x} + e^{-x} $, já que a expressão dentro é sempre positiva. Assim, temos:
(e^x + e^-x)^2
Simplificando mais:
e^x + e^-x

Passo 8

Agora, vamos expandir $ (e^{x} + e{-x})2 $:
(e^x + e^-x)^2
Então, a integral fica:
(e^x + e^-x)^2 = e^2x + 2 + e^-2x

Passo 9

Vamos integrar cada termo separadamente:
integral e^2x , dx = e^2x2 + C
integral 2 , dx = 2x + C
integral e^-2x , dx = -e^-2x2 + C
Então:
S = pi2 [ e^2x2 + 2x - e^-2x2 ]0^2

Passo 10

Agora, avaliamos a expressão de $ x = 2 $ e $ x = 0 $:
Para $ x = 2 $:
x = 2
Para $ x = 0 $:
x = 0
Então, a diferença é:
x = 2

Passo 11

Multiplicando pela constante fora da integral:
S = pi2 ( e^42 + 4 - e^-42 ) = pi4 (e^4 - e^-4) + 2pi

Resposta

A área da superfície gerada pela rotação do arco da curva é:
S = pi4 (e^4 - e^-4) + 2pi approx 110,168 unidades quadradas

Exercícios relacionados