Calcule a área da superfície gerada pela rotação do arco da curva
, em torno do eixo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área da superfície que é gerada quando a curva $ y = \frac{e^{x} + e^{-x}}{2} $ no intervalo de $ 0 \leq x \leq 2 $ é girada ao redor do eixo $ x $. Isso envolve conhecimentos de cálculo, especificamente cálculo de superfícies de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a fórmula para encontrar a área da superfície gerada pela rotação de uma curva $ y = f(x) $ ao redor do eixo $ x $. A fórmula é:
Aqui, $ a $ e $ b $ são os limites do intervalo, $ y $ é a função que está sendo girada, e $ \frac{dy}{dx} $ é a derivada de $ y $ em relação a $ x $.
Passo 3
Vamos identificar os valores que temos:
- $ y = \frac{e^{x} + e^{-x}}{2} $
- Intervalo: $ a = 0 $ e $ b = 2 $
Primeiro, encontramos a derivada de $ y $ em relação a $ x $:
Passo 4
Agora, vamos calcular $ 1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 $:
Vamos simplificar isso:
Então:
Passo 5
Perceba que $ e^{2x} + e^{-2x} $ é igual a $ 2\cosh(2x) $, mas vamos mantê-lo em termos de exponenciais para facilitar a integração.
Então, a expressão dentro da raiz fica:
Passo 6
Agora, substituímos $ y $ e a expressão que acabamos de encontrar na fórmula da área:
Simplificando:
Porque $ e^{2x} + e^{-2x} + 2 = (e^{x} + e{-x})2 $.
Passo 7
A raiz quadrada de $ (e^{x} + e{-x})2 $ é $ e^{x} + e^{-x} $, já que a expressão dentro é sempre positiva. Assim, temos:
Simplificando mais:
Passo 8
Agora, vamos expandir $ (e^{x} + e{-x})2 $:
Então, a integral fica:
Passo 9
Vamos integrar cada termo separadamente:
Então:
Passo 10
Agora, avaliamos a expressão de $ x = 2 $ e $ x = 0 $:
Para $ x = 2 $:
Para $ x = 0 $:
Então, a diferença é:
Passo 11
Multiplicando pela constante fora da integral:
Resposta
A área da superfície gerada pela rotação do arco da curva é: