Calcule o volume do sólido cuja base é a região delimitada pela curva y=x^2 e o eixo x de x=0 até x=2 e cujas secções transversais, tomadas perpendiculamente ao eixo x, são triângulos equiláteros.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o volume de um sólido cuja base é a região delimitada pela curva $ y = x^{2} $, o eixo $ x $, e os limites de $ x = 0 $ até $ x = 2 $. Além disso, as seções transversais desse sólido, que são os cortes perpendiculares ao eixo $ x $, são triângulos equiláteros. Para resolver isso, vamos precisar usar a integração para somar todas essas áreas de triângulos ao longo do eixo $ x $.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a base do sólido. A curva $ y = x^{2} $ é uma parábola que se abre para cima. Entre $ x = 0 $ e $ x = 2 $, essa curva forma a base do sólido junto com o eixo $ x $.

Passo 3

Agora, vamos pensar nas seções transversais. A cada posição $ x $, temos um triângulo equilátero perpendicular ao eixo $ x $. O lado desse triângulo é dado pela distância entre a curva $ y = x^{2} $ e o eixo $ x $, que é exatamente $ y = x^{2} $. Então, o lado do triângulo $ s $ é igual a $ x^{2} $.

Passo 4

Precisamos lembrar como calcular a área de um triângulo equilátero. A fórmula é:
A = raiz34 s^2
Onde $ s $ é o comprimento do lado do triângulo. No nosso caso, $ s = x^{2} $, então a área do triângulo em função de $ x $ fica:
s

Passo 5

Para encontrar o volume do sólido, precisamos integrar essa área ao longo do intervalo de $ x = 0 $ até $ x = 2 $. A integral será:
x = 0

Passo 6

Vamos calcular a integral:
V = raiz34 integral0^2 x^4 , dx
A antiderivada de $ x^{4} $ é $ \frac{x^{5}}{5} $, então:
x^4

Passo 7

Simplificando:
V = raiz34 times 325 = 8raiz35

Resposta

O volume do sólido é $ \frac{8\sqrt{3}}{5} $ unidades cúbicas.

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