Calcule o volume do sólido cuja base é a região delimitada pela curva
e o eixo
de
até
e cujas secções transversais, tomadas perpendiculamente ao eixo
, são triângulos equiláteros.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o volume de um sólido cuja base é a região delimitada pela curva $ y = x^{2} $, o eixo $ x $, e os limites de $ x = 0 $ até $ x = 2 $. Além disso, as seções transversais desse sólido, que são os cortes perpendiculares ao eixo $ x $, são triângulos equiláteros. Para resolver isso, vamos precisar usar a integração para somar todas essas áreas de triângulos ao longo do eixo $ x $.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a base do sólido. A curva $ y = x^{2} $ é uma parábola que se abre para cima. Entre $ x = 0 $ e $ x = 2 $, essa curva forma a base do sólido junto com o eixo $ x $.
Passo 3
Agora, vamos pensar nas seções transversais. A cada posição $ x $, temos um triângulo equilátero perpendicular ao eixo $ x $. O lado desse triângulo é dado pela distância entre a curva $ y = x^{2} $ e o eixo $ x $, que é exatamente $ y = x^{2} $. Então, o lado do triângulo $ s $ é igual a $ x^{2} $.
Passo 4
Precisamos lembrar como calcular a área de um triângulo equilátero. A fórmula é:
Onde $ s $ é o comprimento do lado do triângulo. No nosso caso, $ s = x^{2} $, então a área do triângulo em função de $ x $ fica:
Passo 5
Para encontrar o volume do sólido, precisamos integrar essa área ao longo do intervalo de $ x = 0 $ até $ x = 2 $. A integral será:
Passo 6
Vamos calcular a integral:
A antiderivada de $ x^{4} $ é $ \frac{x^{5}}{5} $, então:
Passo 7
Simplificando:
Resposta
O volume do sólido é $ \frac{8\sqrt{3}}{5} $ unidades cúbicas.