Use o método das casacas cilíndricas para determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo dos
da região delimitada pelas retas
e
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que é gerado ao girar uma região delimitada pelas retas $ y = 2x $, $ y = -2x + 4 $ e $ x = 2 $ em torno do eixo $ y $. Para isso, vamos usar o método das casacas cilíndricas, que é uma técnica bacana para calcular volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a região que estamos girando. Precisamos encontrar onde essas retas se interceptam para saber os limites de integração.
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Interseção entre $ y = 2x $ e $ y = -2x + 4 $:Igualando as duas equações:Então, elas se interceptam em $ x = 1 $. Substituindo na primeira equação:Ponto de interseção: $ (1, 2) $.
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Interseção das retas com $ x = 2 $:Para $ y = 2x $:Ponto: $ (2, 4) $.Para $ y = -2x + 4 $:Ponto: $ (2, 0) $.
Passo 3
Agora, vamos visualizar a região. Entre $ x = 0 $ e $ x = 1 $, a reta $ y = -2x + 4 $ está acima de $ y = 2x $. Já entre $ x = 1 $ e $ x = 2 $, a reta $ y = 2x $ fica acima de $ y = -2x + 4 $. Isso nos ajuda a definir a altura das casacas cilíndricas em cada intervalo.
Passo 4
No método das casacas cilíndricas, o volume é calculado pela integral:
Aqui:
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Raio: A distância de um ponto $ x $ ao eixo de rotação $ y $, que é simplesmente $ x $.
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Altura: A diferença entre as funções que delimitam a região. Como temos duas situações, vamos dividir a integral em duas partes:
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De $ x = 0 $ a $ x = 1 $:
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De $ x = 1 $ a $ x = 2 $:
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Passo 5
Vamos montar a integral para o volume:
Passo 6
Agora, vamos calcular cada parte da integral:
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Primeira integral (de 0 a 1):
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Segunda integral (de 1 a 2):
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Somando as duas partes:
Resposta
O volume do sólido de revolução é $ 8\pi $ unidades cúbicas.