Use o método das casacas cilíndricas para determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo dos y da região delimitada pelas retas y=2x, y=-2x+4 e x=2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que é gerado ao girar uma região delimitada pelas retas $ y = 2x $, $ y = -2x + 4 $ e $ x = 2 $ em torno do eixo $ y $. Para isso, vamos usar o método das casacas cilíndricas, que é uma técnica bacana para calcular volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a região que estamos girando. Precisamos encontrar onde essas retas se interceptam para saber os limites de integração.
  • Interseção entre $ y = 2x $ e $ y = -2x + 4 $:
    Igualando as duas equações:
    y = 2x
    Então, elas se interceptam em $ x = 1 $. Substituindo na primeira equação:
    y = -2x + 4
    Ponto de interseção: $ (1, 2) $.
  • Interseção das retas com $ x = 2 $:
    Para $ y = 2x $:
    2x = -2x + 4 4x = 4 x = 1
    Ponto: $ (2, 4) $.
    Para $ y = -2x + 4 $:
    x = 1
    Ponto: $ (2, 0) $.

Passo 3

Agora, vamos visualizar a região. Entre $ x = 0 $ e $ x = 1 $, a reta $ y = -2x + 4 $ está acima de $ y = 2x $. Já entre $ x = 1 $ e $ x = 2 $, a reta $ y = 2x $ fica acima de $ y = -2x + 4 $. Isso nos ajuda a definir a altura das casacas cilíndricas em cada intervalo.

Passo 4

No método das casacas cilíndricas, o volume é calculado pela integral:
V = 2pi integrala^b (raio) times (a
Aqui:
  • Raio: A distância de um ponto $ x $ ao eixo de rotação $ y $, que é simplesmente $ x $.
  • Altura: A diferença entre as funções que delimitam a região. Como temos duas situações, vamos dividir a integral em duas partes:
    1. De $ x = 0 $ a $ x = 1 $:
      x
    2. De $ x = 1 $ a $ x = 2 $:
      y

Passo 5

Vamos montar a integral para o volume:
V = 2pi [ integral0^1 x(-4x + 4) , dx + integral1^2 x(4x - 4) , dx ]

Passo 6

Agora, vamos calcular cada parte da integral:
  1. Primeira integral (de 0 a 1):
    integral0^1 x(-4x + 4) , dx = integral0^1 (-4x^2 + 4x) , dx = [ -43x^3 + 2x^2 ]0^1 = ( -43(1)^3 + 2(1)^2 ) - 0 = -43 + 2 = 23
  2. Segunda integral (de 1 a 2):
    integral1^2 x(4x - 4) , dx = integral1^2 (4x^2 - 4x) , dx = [ 43x^3 - 2x^2 ]1^2 = ( 43(8) - 2(4) ) - ( 43(1) - 2(1) ) = ( 323 - 8 ) - ( 43 - 2 ) = ( 323 - 243 ) - ( 43 - 63 ) = 83 - ( -23 ) = 103
  3. Somando as duas partes:
    V = 2pi ( 23 + 103 ) = 2pi times 4 = 8pi

Resposta

O volume do sólido de revolução é $ 8\pi $ unidades cúbicas.

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