Encontre o comprimento de arco da curva
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o comprimento do arco da curva $ y = 1 - \ln(\cos x) $ no intervalo de $ \frac{\pi}{6} $ a $ \frac{\pi}{4} $. Para isso, vamos usar o cálculo de comprimento de arco, que envolve derivadas e integrais. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de um arco de uma curva $ y = f(x) $ entre dois pontos $ a $ e $ b $:
Ou seja, precisamos encontrar a derivada de $ y $ em relação a $ x $, elevar ao quadrado, somar 1, tirar a raiz quadrada e integrar tudo isso de $ \frac{\pi}{6} $ a $ \frac{\pi}{4} $.
Passo 3
Vamos encontrar a derivada de $ y $ em relação a $ x $:
A derivada de 1 é 0, e a derivada de $ -\ln(\cos x) $ usando a regra da cadeia é:
Passo 4
Agora, vamos elevar essa derivada ao quadrado:
Lembrando que $ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} $, mas vamos manter $ \tan^2 x $ por enquanto.
Passo 5
Vamos montar a expressão dentro da raiz da fórmula do comprimento de arco:
Sabemos que $ 1 + \tan^2 x = \sec^2 x $, onde $ \sec x = \frac{1}{\cos x} $.
Passo 6
Substituindo na fórmula do comprimento de arco:
A raiz quadrada de $ \sec^2 x $ é $ \sec x $, já que $ \sec x $ é sempre positivo nos intervalos que estamos considerando.
Passo 7
Agora, vamos integrar $ \sec x $:
Aplicando os limites de integração:
Passo 8
Vamos calcular nos limites:
Para $ x = \frac{\pi}{4} $:
Então:
Para $ x = \frac{\pi}{6} $:
Então:
Passo 9
Subtraindo os valores:
Usando as propriedades dos logaritmos:
Podemos deixar assim ou calcular numericamente.
Resposta
O comprimento do arco da curva $ y = 1 - \ln(\cos x) $ de $ \frac{\pi}{6} $ a $ \frac{\pi}{4} $ é:
Se preferir uma aproximação numérica, $ L \approx 0,143 $ unidades.