Encontre o comprimento de arco da curva y=1-ln (cos x), pi6 <= x <= pi4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o comprimento do arco da curva $ y = 1 - \ln(\cos x) $ no intervalo de $ \frac{\pi}{6} $ a $ \frac{\pi}{4} $. Para isso, vamos usar o cálculo de comprimento de arco, que envolve derivadas e integrais. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de um arco de uma curva $ y = f(x) $ entre dois pontos $ a $ e $ b $:
y = f(x)
Ou seja, precisamos encontrar a derivada de $ y $ em relação a $ x $, elevar ao quadrado, somar 1, tirar a raiz quadrada e integrar tudo isso de $ \frac{\pi}{6} $ a $ \frac{\pi}{4} $.

Passo 3

Vamos encontrar a derivada de $ y $ em relação a $ x $:
y
A derivada de 1 é 0, e a derivada de $ -\ln(\cos x) $ usando a regra da cadeia é:
x

Passo 4

Agora, vamos elevar essa derivada ao quadrado:
( dydx )^2 = (tan x)^2 = tan^2 x
Lembrando que $ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} $, mas vamos manter $ \tan^2 x $ por enquanto.

Passo 5

Vamos montar a expressão dentro da raiz da fórmula do comprimento de arco:
1 + ( dydx )^2 = 1 + tan^2 x
Sabemos que $ 1 + \tan^2 x = \sec^2 x $, onde $ \sec x = \frac{1}{\cos x} $.

Passo 6

Substituindo na fórmula do comprimento de arco:
L = integralpi6^pi4 raizsec^2 x , dx = integralpi6^pi4 sec x , dx
A raiz quadrada de $ \sec^2 x $ é $ \sec x $, já que $ \sec x $ é sempre positivo nos intervalos que estamos considerando.

Passo 7

Agora, vamos integrar $ \sec x $:
sec x
Aplicando os limites de integração:
integral sec x , dx = ln |sec x + tan x| + C

Passo 8

Vamos calcular nos limites:
Para $ x = \frac{\pi}{4} $:
x = pi4
Então:
sec(pi4) = raiz2, tan(pi4) = 1
Para $ x = \frac{\pi}{6} $:
ln(raiz2 + 1)
Então:
x = pi6

Passo 9

Subtraindo os valores:
L = ln(raiz2 + 1) - ln(raiz3)
Usando as propriedades dos logaritmos:
L = ln(raiz2 + 1raiz3)
Podemos deixar assim ou calcular numericamente.

Resposta

O comprimento do arco da curva $ y = 1 - \ln(\cos x) $ de $ \frac{\pi}{6} $ a $ \frac{\pi}{4} $ é:
y = 1 - ln(cos x)
Se preferir uma aproximação numérica, $ L \approx 0,143 $ unidades.

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