Classifique a EDP como hiperbólica, parabólica ou elíptica.
partial^2 upartial x^2+partial^2 upartial x partial y+partial^2 upartial y^2=0;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para classificarmos uma Equação Diferencial Parcial (EDP) como hiperbólica, parabólica ou elíptica. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre as características dessas classes de EDPs e como identificar a qual elas pertencem.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma EDP do segundo grau tem a forma geral:
A partial^2 upartial x^2 + 2B partial^2 upartial x partial y + C partial^2 upartial y^2 + termos de primeira ordem e termos independentes = 0
Onde $ A $, $ B $ e $ C $ são coeficientes que podem depender das variáveis $ x $ e $ y $.

Passo 3

Para classificar a EDP, usamos o discriminante $ \Delta $, que é calculado da seguinte forma:
De
Esse discriminante nos ajuda a determinar se a equação é hiperbólica, parabólica ou elíptica.

Passo 4

Vamos identificar os coeficientes na nossa EDP:
partial^2 upartial x^2 + partial^2 upartial x partial y + partial^2 upartial y^2 = 0
Comparando com a forma geral, temos:
  • $ A = 1 $ (coeficiente de $ \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} $)
  • $ 2B = 1 $ → $ B = \frac{1}{2} $ (coeficiente de $ \frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y} $)
  • $ C = 1 $ (coeficiente de $ \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} $)

Passo 5

Agora, vamos calcular o discriminante $ \Delta $:
De

Passo 6

Com o valor do discriminante, interpretamos a classificação da EDP:
  • Se $ \Delta > 0 $, a equação é hiperbólica.
  • Se $ \Delta = 0 $, a equação é parabólica.
  • Se $ \Delta < 0 $, a equação é elíptica.
No nosso caso, $ \Delta = -\frac{3}{4} < 0 $.

Resposta

A EDP é elíptica.

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