Classifique a EDP como hiperbólica, parabólica ou elíptica.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para classificarmos uma Equação Diferencial Parcial (EDP) como hiperbólica, parabólica ou elíptica. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre as características dessas classes de EDPs e como identificar a qual elas pertencem.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma EDP do segundo grau tem a forma geral:
Onde $ A $, $ B $ e $ C $ são coeficientes que podem depender das variáveis $ x $ e $ y $.
Passo 3
Para classificar a EDP, usamos o discriminante $ \Delta $, que é calculado da seguinte forma:
Esse discriminante nos ajuda a determinar se a equação é hiperbólica, parabólica ou elíptica.
Passo 4
Vamos identificar os coeficientes na nossa EDP:
Comparando com a forma geral, temos:
- $ A = 1 $ (coeficiente de $ \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} $)
- $ 2B = 1 $ → $ B = \frac{1}{2} $ (coeficiente de $ \frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y} $)
- $ C = 1 $ (coeficiente de $ \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} $)
Passo 5
Agora, vamos calcular o discriminante $ \Delta $:
Passo 6
Com o valor do discriminante, interpretamos a classificação da EDP:
- Se $ \Delta > 0 $, a equação é hiperbólica.
- Se $ \Delta = 0 $, a equação é parabólica.
- Se $ \Delta < 0 $, a equação é elíptica.
No nosso caso, $ \Delta = -\frac{3}{4} < 0 $.
Resposta
A EDP é elíptica.