Calcule a área da superficie gerada pela rotação do gráfico da função
ao redor do eixo
para
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede pra calcular a área da superfície gerada quando a curva da função
é rotacionada ao redor do eixo
no intervalo de
de -1 a 1. A matéria que vamos usar aqui é cálculo, especificamente o cálculo de integrais para encontrar áreas de superfícies de revolução.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a fórmula para calcular a área da superfície gerada pela rotação de uma função
ao redor do eixo
. A fórmula geral é:
Aqui,
é a área da superfície,
e
são os limites de integração,
é a função que está sendo rotacionada, e
é a derivada dessa função em relação a
.
Passo 3
Vamos aplicar essa fórmula à nossa função
. Primeiro, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos substituir
e
na fórmula da área da superfície:
Passo 5
Essa integral pode ser complicada de resolver analiticamente devido à presença de termos exponenciais e a raiz quadrada. Normalmente, resolveríamos essa integração usando métodos numéricos ou ferramentas de cálculo avançado.
Resposta
A área da superfície gerada pela rotação da função
ao redor do eixo
no intervalo de
de -1 a 1 é dada por: