Calcule a área da superficie gerada pela rotação do gráfico da função y=a^tildez+e^-x2 ao redor do eixo x para x in[-1,1].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede pra calcular a área da superfície gerada quando a curva da função é rotacionada ao redor do eixo no intervalo de de -1 a 1. A matéria que vamos usar aqui é cálculo, especificamente o cálculo de integrais para encontrar áreas de superfícies de revolução.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a fórmula para calcular a área da superfície gerada pela rotação de uma função S = 2pi integrala^b y(x) raiz1 + ( dydx )^2 , dx ao redor do eixo . A fórmula geral é:
Aqui, é a área da superfície, e são os limites de integração, é a função que está sendo rotacionada, e é a derivada dessa função em relação a .

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula à nossa função dydx = ddx( a^x + e^-x2 ) = a^x ln(a) - e^-x2 . Primeiro, precisamos encontrar a derivada de em relação a :

Passo 4

Agora, vamos substituir S = 2pi integral-1^1 a^x + e^-x2 raiz1 + ( a^x ln(a) - e^-x2 )^2 , dx e na fórmula da área da superfície:

Passo 5

Essa integral pode ser complicada de resolver analiticamente devido à presença de termos exponenciais e a raiz quadrada. Normalmente, resolveríamos essa integração usando métodos numéricos ou ferramentas de cálculo avançado.

Resposta

A área da superfície gerada pela rotação da função S = 2pi integral-1^1 a^x + e^-x2 raiz1 + ( a^x ln(a) - e^-x2 )^2 , dx ao redor do eixo no intervalo de de -1 a 1 é dada por:

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