Encontre o comprimento da curva em coordenadas polares r=e^-theta para theta in[0, c], onde c>0.
Qual é o comprimento da curva se theta in[0,+infty)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! O enunciado pede para encontrar o comprimento de uma curva definida em coordenadas polares pela equação no intervalo de de 0 até , onde . Além disso, também queremos saber qual seria esse comprimento se fosse de 0 até mais infinito. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de comprimento de arco em coordenadas polares e algumas integrais básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula para calcular o comprimento de uma curva em coordenadas polares. Se temos uma curva definida por L = integrala^b raiz(drdtheta)^2 + r^2 , dtheta , o comprimento do arco de até é dado por:
Nesse caso, nossa função é , então precisamos encontrar .

Passo 3

Vamos calcular a derivada de drdtheta = ddtheta e^-theta = -e^-theta em relação a L = integral0^c raiz(-e^-theta)^2 + (e^-theta)^2 , dtheta :
Agora, vamos substituir e na fórmula do comprimento do arco:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
(-e^-theta)^2 + (e^-theta)^2 = e^-2theta + e^-2theta = 2e^-2theta
Então, o comprimento do arco fica:
L = integral0^c raiz2e^-2theta , dtheta = raiz2 integral0^c e^-theta , dtheta

Passo 5

Agora, vamos integrar integral e^-theta , dtheta = -e^-theta + C de 0 a raiz2 [ -e^-theta ]0^c = raiz2 ( -e^-c + e^0 ) = raiz2 (1 - e^-c) :
Aplicando os limites de integração:

Resposta

O comprimento da curva para é . Se considerarmos , o comprimento da curva tende a .

Exercícios relacionados