Encontre o comprimento da curva em coordenadas polares
para
, onde
.
Qual é o comprimento da curva se
Qual é o comprimento da curva se
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! O enunciado pede para encontrar o comprimento de uma curva definida em coordenadas polares pela equação
no intervalo de
de 0 até
, onde
. Além disso, também queremos saber qual seria esse comprimento se
fosse de 0 até mais infinito. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de comprimento de arco em coordenadas polares e algumas integrais básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula para calcular o comprimento de uma curva em coordenadas polares. Se temos uma curva definida por
, o comprimento do arco
de
até
é dado por:
Nesse caso, nossa função é
, então precisamos encontrar
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Agora, vamos substituir
e
na fórmula do comprimento do arco:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Então, o comprimento do arco fica:
Passo 5
Agora, vamos integrar
de 0 a
:
Aplicando os limites de integração:
Resposta
O comprimento da curva
para
é
. Se considerarmos
, o comprimento da curva tende a
.