A função aceleração ( em m / s^2 ) e a velocidade inicial são dadas para uma partícula movendo-se ao longo de uma reta.
a(t)=t+4, v(0)=-10, 0 <= t <= 9
Encontre a distância percorrida durante o intervalo de tempo dado.

Passo 1

O enunciado pede a distância total percorrida por uma partícula em movimento retilíneo no intervalo 0≤t≤9, sabendo que a aceleração é a função a(t)=t+4 e que a velocidade inicial é v(0)=−10. O conteúdo aqui é cinemática: vamos precisar integrar a(t) para obter v(t) e depois integrar |v(t)| para achar a distância percorrida.

Passo 2

Começamos integrando a aceleração para achar a velocidade. Como a aceleração é a derivada da velocidade, temos:
v(t)=integral a(t),dt=integral(t+4),dt=t^22+4t+C
Usando a condição v(0)=−10, obtemos C=−10. Logo,
v(t)=t^22+4t-10

Passo 3

Para saber quando a velocidade muda de sinal (o que indica mudança de sentido do movimento, importante para distância), resolvemos v(t)=0:
t^22+4t-10=0 t^2+8t-20=0
As raízes são t=2 (e t=−10, desprezamos porque está fora de [0,9]). Ou seja, v(t)<0 em [0,2) (movimento para sentido negativo) e v(t)>0 em (2,9].

Passo 4

A distância percorrida é a integral da velocidade com sinal trocado quando ela é negativa. Então:
Dist=-integral0^2v(t),dt+integral2^9v(t),dt
Vamos usar a primitiva de v(t):
F(t)=integral v(t),dt=integrall(t^22+4t-10r)dt=t^36+2t^2-10t

Passo 5

Agora avaliamos as integrais.
Para 0 a 2:

Resposta

A distância percorrida no intervalo é dfrac12896,m (aproximadamente 214{,}83 m).

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