A função aceleração (
) e a velocidade inicial são dadas para uma partícula movendo-se ao longo de uma reta.
Encontre a distância percorrida durante o intervalo de tempo dado.
Encontre a distância percorrida durante o intervalo de tempo dado.
Passo 1
O enunciado pede a distância total percorrida por uma partícula em movimento retilíneo no intervalo 0≤t≤9, sabendo que a aceleração é a função a(t)=t+4 e que a velocidade inicial é v(0)=−10. O conteúdo aqui é cinemática: vamos precisar integrar a(t) para obter v(t) e depois integrar |v(t)| para achar a distância percorrida.
Passo 2
Começamos integrando a aceleração para achar a velocidade. Como a aceleração é a derivada da velocidade, temos:
Usando a condição v(0)=−10, obtemos C=−10. Logo,
Passo 3
Para saber quando a velocidade muda de sinal (o que indica mudança de sentido do movimento, importante para distância), resolvemos v(t)=0:
As raízes são t=2 (e t=−10, desprezamos porque está fora de [0,9]). Ou seja, v(t)<0 em [0,2) (movimento para sentido negativo) e v(t)>0 em (2,9].
Passo 4
A distância percorrida é a integral da velocidade com sinal trocado quando ela é negativa. Então:
Vamos usar a primitiva de v(t):
Passo 5
Agora avaliamos as integrais.
Para 0 a 2:
Para 0 a 2:
Resposta
A distância percorrida no intervalo é
(aproximadamente 214{,}83 m).