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Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma função $ f(x) = \int_{x}{x{2}} \sqrt{1+t^{2}} , dt $ e outra função $ g(x) = f(x) $. Nosso objetivo é encontrar a derivada de $ g $ quando $ x = 7 $, ou seja, $ g’(7) $. Para resolver isso, vamos precisar usar o cálculo de derivadas e o teorema fundamental do cálculo, que conecta integrais e derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é $ f(x) $. Ela é definida como uma integral definida de $ \sqrt{1+t^{2}} $ de $ t = x $ até $ t = x^{2} $. Para encontrar a derivada de $ f(x) $, vamos aplicar o teorema fundamental do cálculo combinado com a regra da cadeia.
Passo 3
Segundo o teorema fundamental do cálculo, se temos $ F(x) = \int_{a(x)}^{b(x)} h(t) , dt $, então a derivada $ F’(x) $ é dada por:
No nosso caso, $ h(t) = \sqrt{1 + t^{2}} $, $ a(x) = x $ e $ b(x) = x^{2} $.
Passo 4
Vamos calcular cada parte:
- $ h(b(x)) = \sqrt{1 + (x{2}){2}} = \sqrt{1 + x^{4}} $
- $ b’(x) = \frac{d}{dx}(x^{2}) = 2x $
- $ h(a(x)) = \sqrt{1 + x^{2}} $
- $ a’(x) = \frac{d}{dx}(x) = 1 $
Passo 5
Agora, aplicando a fórmula:
Passo 6
Como $ g(x) = f(x) $, então $ g’(x) = f’(x) $. Portanto:
Passo 7
Agora, substituímos $ x = 7 $ na expressão de $ g’(x) $:
Passo 8
Vamos calcular cada parte:
- $ 7^{4} = 2401 $, então $ \sqrt{1 + 2401} = \sqrt{2402} $
- $ 7^{2} = 49 $, então $ \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50} $
Portanto:
Passo 9
Simplificando as raízes:
Então:
Resposta
Portanto, $ g^{\prime}(7) $ é aproximadamente 678,93.