Calcule a área da superfície gerada pela rotação das regiões ao longo do Eixo x.
y=7 x, 1 <= x <= 4.

Passo 1

Beleza, vamos calcular a área da superfície que resulta quando giramos a reta $ y = 7x $ no intervalo de $ x = 1 $ até $ x = 4 $ em torno do eixo $ x $. Para isso, vamos usar o conceito de área de superfície de revolução, que envolve cálculo integral e derivadas.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar a fórmula para calcular a área da superfície gerada pela rotação de uma função $ y = f(x) $ em torno do eixo $ x $:
y = f(x)
Aqui, $ a = 1 $ e $ b = 4 $ são os limites do intervalo.

Passo 3

Vamos identificar $ f(x) $ e calcular sua derivada. No nosso caso:
f(x)
A derivada de $ f(x) $ em relação a $ x $ é:
f(x) = 7x

Passo 4

Agora, vamos substituir $ f(x) $ e $ f’(x) $ na fórmula:
f(x)
Simplificando dentro da raiz:
f'(x)

Passo 5

A expressão da área fica então:
A = 2pi raiz50 integral1^4 7x , dx
Vamos calcular a integral $ \int_{1}^{4} 7x , dx $.

Passo 6

Integrando $ 7x $ em relação a $ x $:
7x
Avaliado de 1 a 4:
x

Passo 7

Substituindo de volta na expressão da área:
A = 2pi raiz50 times 1052
Os 2 cancelam:
A = pi raiz50 times 105

Passo 8

Simplificando $ \sqrt{50} $:
raiz50
Portanto:
raiz50 = 5raiz2

Resposta

A área da superfície gerada pela rotação é $ 525 \sqrt{2} \pi $ unidades de área.

Exercícios relacionados