Calcule a área da superfície gerada pela rotação das regiões ao longo do Eixo
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Passo 1
Beleza, vamos calcular a área da superfície que resulta quando giramos a reta $ y = 7x $ no intervalo de $ x = 1 $ até $ x = 4 $ em torno do eixo $ x $. Para isso, vamos usar o conceito de área de superfície de revolução, que envolve cálculo integral e derivadas.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar a fórmula para calcular a área da superfície gerada pela rotação de uma função $ y = f(x) $ em torno do eixo $ x $:
Aqui, $ a = 1 $ e $ b = 4 $ são os limites do intervalo.
Passo 3
Vamos identificar $ f(x) $ e calcular sua derivada. No nosso caso:
A derivada de $ f(x) $ em relação a $ x $ é:
Passo 4
Agora, vamos substituir $ f(x) $ e $ f’(x) $ na fórmula:
Simplificando dentro da raiz:
Passo 5
A expressão da área fica então:
Vamos calcular a integral $ \int_{1}^{4} 7x , dx $.
Passo 6
Integrando $ 7x $ em relação a $ x $:
Avaliado de 1 a 4:
Passo 7
Substituindo de volta na expressão da área:
Os 2 cancelam:
Passo 8
Simplificando $ \sqrt{50} $:
Portanto:
Resposta
A área da superfície gerada pela rotação é $ 525 \sqrt{2} \pi $ unidades de área.