Calcule, em cada caso, a integral duplaD f(x, y) d x d y e esboce o domínio D.
j) f(x, y)=y^3 e^x y^2 e D=(x, y) in R^2 ; 0 <= x <= 1,1 <= y <= 2.

Passo 1

Aqui a ideia é calcular uma integral dupla de uma função relativamente simples sobre um retângulo em R^2. O conteúdo principal é o uso de integrais iteradas (Teorema de Fubini) e, depois, o Teorema Fundamental do Cálculo para executar as integrais em x e em y. Vamos precisar conhecer como integrar exponenciais e polinômios de forma iterada.

Passo 2

Escrevendo a integral como iterada segundo Fubini, temos
integral duplaD y^3 e^x y^2,dx,dy = integraly=1^2 l(integralx=0^1 y^3 e^x y^2,dxr) dy
Para a integral interna em x, note que y é constante. Logo,
integral0^1 y^3 e^x y^2,dx = y^3 integral0^1 e^x y^2,dx
Usamos o fato de que integral e^a x,dx = 1a e^a x. Aqui a = y^2, então
integral0^1 e^x y^2,dx = 1y^2l(e^y^2 - 1r)
Multiplicando por y^3
integral0^1 y^3 e^x y^2,dx = yl(e^y^2 - 1r)

Passo 3

Agora integramos em y:
integral1^2 yl(e^y^2 - 1r) dy = integral1^2 y e^y^2,dy - integral1^2 y,dy
A primeira parte é tratada com substituição u = y^2, du = 2y,dy:
integral y e^y^2,dy = 12 e^y^2
Avaliando de 1 a 2:
integral1^2 y e^y^2,dy = 12l(e^4 - e^1r)
A segunda parte é simples:
integral1^2 y,dy = 12l(2^2 - 1^2r) = 32
Juntando,
integral duplaD f = 12l(e^4 - er) - 32

Passo 4

O domínio D é o retângulo definido por 0 <= x <= 1 e 1 <= y <= 2. Em um sistema de eixos x- y, é só desenhar o retângulo com vértices em (0,1), (1,1), (1,2) e (0,2).

Resposta

e^4 - e - 32

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