Determine o volume dos sólidos obtidos pela rotação em torno do Eixo
da região
delimitada pelos gráficos das equações dadas:
e
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o volume dos sólidos que surgem ao girar a região delimitada pelas curvas $ y = x^3 $ e $ y = x^2 $ em torno do eixo $ y $. Para isso, vamos usar o conceito de volumes de sólidos de revolução, que faz parte do cálculo integral. Vamos precisar entender como aplicar o método dos cilindros (ou método das cascas cilíndricas) para achar esse volume.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar onde as duas curvas se encontram para saber os limites de integração. Igualando $ x^3 = x^2 $:
Então, as soluções são $ x = 0 $ e $ x = 1 $. Isso significa que a região que vamos girar está entre $ x = 0 $ e $ x = 1 $.
Passo 3
Agora, vamos visualizar qual das duas funções está acima da outra nesse intervalo. Se escolhermos um valor de $ x $ entre 0 e 1, por exemplo, $ x = 0.5 $:
Percebemos que $ y = x^2 $ está acima de $ y = x^3 $ no intervalo $ [0, 1] $.
Passo 4
Vamos usar o método das cascas cilíndricas para calcular o volume. Esse método é útil quando estamos girando a região em torno de um eixo vertical, como o eixo $ y $ no nosso caso.
A fórmula para o volume usando as cascas é:
Onde:
- $ x $ é a distância do elemento de casca ao eixo de rotação.
- $ f(x) $ é a função de cima ($ y = x^2 $).
- $ g(x) $ é a função de baixo ($ y = x^3 $).
- $ a $ e $ b $ são os limites de integração (no nosso caso, 0 e 1).
Passo 5
Substituindo na fórmula:
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, vamos integrar termo a termo:
Aplicando os limites de 0 a 1:
Resposta
O volume dos sólidos obtidos é $ \frac{\pi}{10} $ unidades cúbicas.