Determine o volume dos sólidos obtidos pela rotação em torno do Eixo y da região S delimitada pelos gráficos das equações dadas:
y=x^3 e y=x^2;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o volume dos sólidos que surgem ao girar a região delimitada pelas curvas $ y = x^3 $ e $ y = x^2 $ em torno do eixo $ y $. Para isso, vamos usar o conceito de volumes de sólidos de revolução, que faz parte do cálculo integral. Vamos precisar entender como aplicar o método dos cilindros (ou método das cascas cilíndricas) para achar esse volume.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde as duas curvas se encontram para saber os limites de integração. Igualando $ x^3 = x^2 $:
x^3 = x^2
Então, as soluções são $ x = 0 $ e $ x = 1 $. Isso significa que a região que vamos girar está entre $ x = 0 $ e $ x = 1 $.

Passo 3

Agora, vamos visualizar qual das duas funções está acima da outra nesse intervalo. Se escolhermos um valor de $ x $ entre 0 e 1, por exemplo, $ x = 0.5 $:
x
Percebemos que $ y = x^2 $ está acima de $ y = x^3 $ no intervalo $ [0, 1] $.

Passo 4

Vamos usar o método das cascas cilíndricas para calcular o volume. Esse método é útil quando estamos girando a região em torno de um eixo vertical, como o eixo $ y $ no nosso caso.
A fórmula para o volume usando as cascas é:
y
Onde:
  • $ x $ é a distância do elemento de casca ao eixo de rotação.
  • $ f(x) $ é a função de cima ($ y = x^2 $).
  • $ g(x) $ é a função de baixo ($ y = x^3 $).
  • $ a $ e $ b $ são os limites de integração (no nosso caso, 0 e 1).

Passo 5

Substituindo na fórmula:
V = 2pi integral0^1 x cdot (x^2 - x^3) , dx
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
x cdot (x^2 - x^3) = x^3 - x^4
Então, a integral fica:
V = 2pi integral0^1 (x^3 - x^4) , dx

Passo 6

Agora, vamos integrar termo a termo:
integral x^3 , dx = x^44 integral x^4 , dx = x^55
Aplicando os limites de 0 a 1:
V = 2pi [ ( 1^44 - 1^55 ) - ( 0^44 - 0^55 ) ] V = 2pi ( 14 - 15 ) V = 2pi ( 520 - 420 ) V = 2pi ( 120 ) V = 2pi20 V = pi10

Resposta

O volume dos sólidos obtidos é $ \frac{\pi}{10} $ unidades cúbicas.

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