Calcule a área da superfície gerada pela rotação das regiões ao longo do Eixo y.
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Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é um exercício de cálculo que pede para calcular a área da superfície gerada quando a região definida pela função $ x = \sqrt[3]{y} $ no intervalo $ 0 \leq y \leq 1 $ é girada em torno do eixo y. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente a fórmula para a área de uma superfície de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular a área de uma superfície gerada pela rotação de uma curva em torno do eixo y. A fórmula é:
Aqui, $ S $ é a área da superfície, $ x $ é a função em termos de $ y $, e $ \frac{dx}{dy} $ é a derivada de $ x $ em relação a $ y $. Os limites de integração $ a $ e $ b $ são os valores de $ y $ que definem a região.
Passo 3
Vamos identificar o que temos no problema:
- $ x = \sqrt[3]{y} $
- Intervalo de $ y $: de 0 a 1
Então, $ a = 0 $ e $ b = 1 $.
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada de $ x $ em relação a $ y $. Dado que $ x = y^{1/3} $, a derivada é:
Isso significa que $ \frac{dx}{dy} $ é igual a $ \frac{1}{3} y^{-2/3} $.
Passo 5
Substituindo $ x $ e $ \frac{dx}{dy} $ na fórmula da área da superfície, temos:
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Passo 6
A expressão para a área da superfície fica então:
Para facilitar a integração, podemos simplificar o integrando:
Passo 7
A integral agora é:
Ainda precisamos resolver essa integral, que pode ser feita por substituição.
Passo 8
Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Seja:
Então, a derivada de $ u $ em relação a $ y $ é:
Assim, podemos escrever:
Passo 9
Substituindo $ u $ e $ dy $ na integral, temos:
Passo 10
Integrando $ u^{1/2} $, obtemos:
Portanto, a área da superfície é:
Passo 11
Agora, substituímos os limites de integração. Quando $ y = 0 $:
Quando $ y = 1 $:
Então:
Resposta
A área da superfície gerada é: