Calcule a área da superfície gerada pela rotação das regiões ao longo do Eixo y.
x=raiz[3]y, 0 <= y <= 1;

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é um exercício de cálculo que pede para calcular a área da superfície gerada quando a região definida pela função $ x = \sqrt[3]{y} $ no intervalo $ 0 \leq y \leq 1 $ é girada em torno do eixo y. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente a fórmula para a área de uma superfície de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular a área de uma superfície gerada pela rotação de uma curva em torno do eixo y. A fórmula é:
S = 2pi integrala^b x raiz1 + ( dxdy )^2 , dy
Aqui, $ S $ é a área da superfície, $ x $ é a função em termos de $ y $, e $ \frac{dx}{dy} $ é a derivada de $ x $ em relação a $ y $. Os limites de integração $ a $ e $ b $ são os valores de $ y $ que definem a região.

Passo 3

Vamos identificar o que temos no problema:
  • $ x = \sqrt[3]{y} $
  • Intervalo de $ y $: de 0 a 1
Então, $ a = 0 $ e $ b = 1 $.

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada de $ x $ em relação a $ y $. Dado que $ x = y^{1/3} $, a derivada é:
x
Isso significa que $ \frac{dx}{dy} $ é igual a $ \frac{1}{3} y^{-2/3} $.

Passo 5

Substituindo $ x $ e $ \frac{dx}{dy} $ na fórmula da área da superfície, temos:
x
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
dxdy

Passo 6

A expressão para a área da superfície fica então:
S = 2pi integral0^1 y^1/3 raiz1 + 19 y^-4/3 , dy
Para facilitar a integração, podemos simplificar o integrando:

Passo 7

A integral agora é:
S = 2pi cdot 13 integral0^1 raiz9 y^4/3 + 1y^1/3 , dy = 2pi3 integral0^1 raiz9 y^4/3 + 1 cdot y^-1/3 , dy
Ainda precisamos resolver essa integral, que pode ser feita por substituição.

Passo 8

Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Seja:
u = 9 y^4/3 + 1
Então, a derivada de $ u $ em relação a $ y $ é:
u
Assim, podemos escrever:
y

Passo 9

Substituindo $ u $ e $ dy $ na integral, temos:

Passo 10

Integrando $ u^{1/2} $, obtemos:
u^1/2
Portanto, a área da superfície é:
integral u^1/2 , du = 23 u^3/2 + C

Passo 11

Agora, substituímos os limites de integração. Quando $ y = 0 $:
y = 0
Quando $ y = 1 $:
u(0) = 9 (0)^4/3 + 1 = 1
Então:
y = 1

Resposta

A área da superfície gerada é:
S = pi27 ( 10raiz10 - 1 ) approx 3,66 , unidades^2

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