Calcule a área da superfície gerada pela rotação da seguinte curva em torno do eixo x, no respectivo intervalo.
y=sen x, 0 <= x <= pi / 2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a área da superfície gerada pela rotação da curva y=sin x em torno do eixo x no intervalo 0<= x<=pi/2. O conteúdo principal é área de superfície de revolução e vamos precisar da fórmula que envolve y e sua derivada.

Passo 2

Para aplicar a fórmula, calculamos primeiro a derivada y'=cos x. A área de superfície é dada por
S = 2pi integral0^pi/2 y,raiz1+(y')^2,dx = 2pi integral0^pi/2 sin x,raiz1+cos^2 x,dx

Passo 3

Chamamos
I = integral0^pi/2 sin x,raiz1+cos^2 x,dx
para simplificar, de modo que S = 2pi I.

Passo 4

Fazendo a substituição u=cos x, com du=-sin x,dx, os limites mudam de x=0to u=1 e x=pi/2to u=0. A integral vira
I = integral1^0 raiz1+u^2(-du) = integral0^1 raiz1+u^2,du

Passo 5

A antiderivada de raiz1+u^2 é
u2raiz1+u^2 + 12lnl(u+raiz1+u^2r)
Avaliando de 0 a 1 dá
I = 12l(raiz2 + ln(1+raiz2)r)

Resposta

pil(raiz2+ln(1+raiz2)r)

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