Sobre uma função diferenciável
, sabe-se que
para todo vetor unitário
. Determine:
o vetor
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a pergunta está pedindo! Temos uma função diferenciável $ f(x, y) $ e nos dizem que, para qualquer vetor unitário $ \overrightarrow{\mathfrak{u}} = (a, b) $, a derivada direcional em $ (1, 0) $ é dada por:
O que a gente precisa encontrar é o vetor gradiente $ \nabla f(1,0) $. Vamos usar conceitos de derivadas direcionais e vetores gradientes para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de uma função $ f $ na direção de um vetor unitário $ \overrightarrow{\mathfrak{u}} = (a, b) $ é dada pelo produto escalar do gradiente com o vetor:
Onde $ \nabla f(1,0) = (A, B) $ é o gradiente que queremos encontrar.
Passo 3
Comparando essa expressão com a que foi dada no problema:
Queremos que essa igualdade seja válida para qualquer vetor unitário $ (a, b) $. Para facilitar, vamos escolher vetores específicos que anulam alguns termos e nos ajudem a encontrar $ A $ e $ B $.
Passo 4
Escolha 1: Vamos escolher $ \overrightarrow{\mathfrak{u}} = (1, 0) $. Esse é um vetor unitário na direção do eixo $ x $.
Substituindo:
E da expressão dada:
Portanto, $ A = -3 $.
Passo 5
Escolha 2: Agora, vamos escolher $ \overrightarrow{\mathfrak{u}} = (0, 1) $. Este é um vetor unitário na direção do eixo $ y $.
Substituindo:
E da expressão dada:
Portanto, $ B = 4 $.
Resposta
O vetor gradiente em $ (1, 0) $ é: