Sobre uma função diferenciável f(x, y), sabe-se que
Du f(1,0)=4 a^2 b-3 a+4 b^3
para todo vetor unitário u=(a, b). Determine:
(1, 0) o vetor nabla f(1,0).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a pergunta está pedindo! Temos uma função diferenciável $ f(x, y) $ e nos dizem que, para qualquer vetor unitário $ \overrightarrow{\mathfrak{u}} = (a, b) $, a derivada direcional em $ (1, 0) $ é dada por:
f(x, y)
O que a gente precisa encontrar é o vetor gradiente $ \nabla f(1,0) $. Vamos usar conceitos de derivadas direcionais e vetores gradientes para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de uma função $ f $ na direção de um vetor unitário $ \overrightarrow{\mathfrak{u}} = (a, b) $ é dada pelo produto escalar do gradiente com o vetor:
f
Onde $ \nabla f(1,0) = (A, B) $ é o gradiente que queremos encontrar.

Passo 3

Comparando essa expressão com a que foi dada no problema:
A cdot a + B cdot b = 4a^2b - 3a + 4b^3
Queremos que essa igualdade seja válida para qualquer vetor unitário $ (a, b) $. Para facilitar, vamos escolher vetores específicos que anulam alguns termos e nos ajudem a encontrar $ A $ e $ B $.

Passo 4

Escolha 1: Vamos escolher $ \overrightarrow{\mathfrak{u}} = (1, 0) $. Esse é um vetor unitário na direção do eixo $ x $.
Substituindo:
u = (1, 0)
E da expressão dada:
x
Portanto, $ A = -3 $.

Passo 5

Escolha 2: Agora, vamos escolher $ \overrightarrow{\mathfrak{u}} = (0, 1) $. Este é um vetor unitário na direção do eixo $ y $.
Substituindo:
u = (0, 1)
E da expressão dada:
y
Portanto, $ B = 4 $.

Resposta

O vetor gradiente em $ (1, 0) $ é:
(1, 0)

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