Calcule a área da superfície gerada pela rotação em torno do eixo y da curva dada.
y=13 x^3+14 x, 1 <= x <= 2

Passo 1

O enunciado pede a área da superfície obtida ao girar a curva y=tfrac13x^3+tfrac14x, para 1<= x<=2, em torno do eixo y. O conteúdo é cálculo de área de superfície de revolução e vamos precisar da fórmula
S=2piintegrala^b xraiz1+l(dydxr)^2,dx
além de derivar y e simplificar o integrando.

Passo 2

Primeiro calculamos a derivada de y:
dydx=ddxl(tfrac13x^3+tfrac14xr)=x^2-14x^2

Passo 3

Agora montamos a expressão dentro da raiz:
1+l(dydxr)^2=1+l(x^2-tfrac14x^2r)^2 =1+l(x^4-tfrac12+tfrac116x^4r) =x^4+tfrac12+tfrac116x^4
Repare que isso é um quadrado perfeito:
x^4+tfrac12+tfrac116x^4=(x^2+tfrac14x^2)^2,
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raiz1+l(dydxr)^2=x^2+14x^2

Passo 4

Substituindo na fórmula de área:
S=2piintegral1^2xl(x^2+tfrac14x^2r)dx =2piintegral1^2l(x^3+tfrac14xr)dx

Passo 5

Basta agora integrar termo a termo:
integrall(x^3+tfrac14xr)dx=x^44+14ln x
Então
S=2pil[x^44+14ln xr]1^2 =2pil(164+14ln2-14r) =pi2(15+ln2)

Resposta

S=dfracpi2l(15+ln2r).

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