Calcule o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo y da região delimitada pelas curvas dadas.
x=raiz1-y^2, x=0

Passo 1

A gente tem uma região no plano xy limitada pela curva x=raiz1-y^2 e pela reta x=0, e vamos girar isso em torno do eixo y. Esse problema usa sólidos de revolução pelo método dos discos (ou anéis).

Passo 2

A curva x=raiz1-y^2 é a semirreta direita do círculo x^2+y^2=1. Como x vai de 0 até essa curva, o y varia do ponto mais baixo ao mais alto do círculo, ou seja, de y=-1 até y=1. Ao girar em torno do eixo y, cada fatia horizontal de espessura dy vira um disco de raio igual à abscissa na fronteira, isto é, R(y)=raiz1-y^2. A área desse disco é pi [R(y)]^2.

Passo 3

O volume total é a soma (integração) dessas áreas ao longo de y. Podemos escrever:
V=integral-1^1pil(raiz1-y^2r)^2,dy

Passo 4

Dentro da integral, temos (raiz1-y^2)^2=1-y^2. Logo,
integral-1^1(1-y^2),dy=[y-y^33]-1^1=43

Resposta

V=4pi3

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