Calcule o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo
da região delimitada pelas curvas dadas.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo x a região limitada pelas curvas
e
. Isso é um caso de sólido de revolução em que usamos o método dos discos (ou anéis): devemos determinar a curva mais afastada do eixo x (raio externo) e a mais próxima (raio interno), achar os pontos de interseção e montar a integral do tipo
Passo 2
Precisamos encontrar onde as duas curvas se cruzam para obter os limites de integração. Resolvendo
levantamos
Como a integral resultante será uma função par (veja o próximo passo), podemos integrar de
a
.
Passo 3
Em cada
, o raio externo até a curva
é
e o raio interno até a curva
é
Logo o volume é
Passo 4
Agora calculamos a integral:
Avaliamo-la de
a
:
Passo 5
Simplificando cada parte:
Subtraindo:
Multiplicando por
obtemos o volume.
Passo 6
Portanto, o volume do sólido gerado é: