Calcule o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo x da região delimitada pelas curvas dadas.
y=x, y=raiz4-x^2

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo x a região limitada pelas curvas y=x e y=raiz4 - x^2. Isso é um caso de sólido de revolução em que usamos o método dos discos (ou anéis): devemos determinar a curva mais afastada do eixo x (raio externo) e a mais próxima (raio interno), achar os pontos de interseção e montar a integral do tipo
V = pi integrala^b l(R(x)^2 - r(x)^2r),dx

Passo 2

Precisamos encontrar onde as duas curvas se cruzam para obter os limites de integração. Resolvendo
x = raiz4 - x^2,
levantamos
x^2 = 4 - x^2 Rightarrow 2x^2 = 4 Rightarrow x^2 = 2 Rightarrow x = pmraiz2
Como a integral resultante será uma função par (veja o próximo passo), podemos integrar de -raiz2 a +raiz2.

Passo 3

Em cada x, o raio externo até a curva y=raiz4-x^2 é
R(x) = raiz4 - x^2,
e o raio interno até a curva y = x é
r(x) = x
Logo o volume é
V = pi integral-raiz2^raiz2 l[(raiz4 - x^2)^2 - (x)^2r],dx = pi integral-raiz2^raiz2 l(4 - x^2 - x^2r),dx = pi integral-raiz2^raiz2 (4 - 2x^2),dx

Passo 4

Agora calculamos a integral:
integral (4 - 2x^2),dx = 4x - 2x^33 + C
Avaliamo-la de -raiz2 a +raiz2:
l[4x - tfrac2x^33r]-raiz2^raiz2 = l(4raiz2 - tfrac2(raiz2)^33r) - l(-4raiz2 - tfrac2(-raiz2)^33r)

Passo 5

Simplificando cada parte:
4raiz2 - 2cdot2raiz23 = 4raiz2 - 4raiz23 = 12raiz2 - 4raiz23 = 8raiz23,
-4raiz2 - 2(-2raiz2)3 = -4raiz2 + 4raiz23 = -12raiz2 - 4raiz23 = -8raiz23
Subtraindo:
8raiz23 - l(-tfrac8raiz23r) = 16raiz23
Multiplicando por pi obtemos o volume.

Passo 6

Portanto, o volume do sólido gerado é:

Resposta

V = 16raiz2,pi3

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