Prove que
.
Passo 1
Estamos com a função escalar definida por f®=1/|r| e queremos mostrar que a Laplaciana Δf=0 para r≠0. O conteúdo é cálculo vetorial: usamos a expressão da Laplaciana em coordenadas esféricas para funções radiais.
Passo 2
Em coordenadas esféricas, se f depende só de r=|r|, vale a fórmula
Passo 3
Calculamos primeiro a derivada radial de f: como f®=1/r, temos
Passo 4
Multiplicamos por r²:
Passo 5
Agora derivamos esse resultado em relação a r:
Passo 6
Finalmente, usando a fórmula da Laplaciana vemos que
o que prova Δ(1/|r|)=0 para r≠0.
Resposta
Δ\bigl(1/|r|\bigr)=0