Prove que De.

Passo 1

Estamos com a função escalar definida por f®=1/|r| e queremos mostrar que a Laplaciana Δf=0 para r≠0. O conteúdo é cálculo vetorial: usamos a expressão da Laplaciana em coordenadas esféricas para funções radiais.

Passo 2

Em coordenadas esféricas, se f depende só de r=|r|, vale a fórmula
Δf(r)=1r^2ddrl(r^2dfdrr)

Passo 3

Calculamos primeiro a derivada radial de f: como f®=1/r, temos
dfdr=-1r^2

Passo 4

Multiplicamos por r²:
r^2dfdr=r^2l(-1r^2r)=-1

Passo 5

Agora derivamos esse resultado em relação a r:
ddr(-1)=0

Passo 6

Finalmente, usando a fórmula da Laplaciana vemos que
Δf(r)=1r^2cdot 0=0,
o que prova Δ(1/|r|)=0 para r≠0.

Resposta

Δ\bigl(1/|r|\bigr)=0

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