Calcule o comprimento da curva y^2=4 x^3 entre os pontos (0,0) e (2,4 raiz2).

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da curva definida por y^2=4x^3 do ponto (0,0) até l(2,4raiz2r). O conteúdo aqui é cálculo de comprimento de arco de uma curva dada como y=y(x). Vamos precisar:
  1. Escolher a rama adequada de y (a positiva, já que y(2)=4raiz2>0).
  2. Calcular y'(x).
  3. Montar e avaliar a integral do arco L=integralx1^x2raiz1+l(y'(x)r)^2;dx

Passo 2

Da equação y^2=4x^3, para y>=0 temos
y(x)=2,x^3/2
Diferenciando,
y'(x)=2cdot32,x^1/2=3raizx,
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l(y'(x)r)^2=9x

Passo 3

A fórmula do comprimento de arco entre x=0 e x=2 é
L=integral0^2raiz1+l(y'(x)r)^2;dx =integral0^2raiz1+9x;dx

Passo 4

Para avaliar
integral0^2raiz1+9x;dx,
fazemos a substituição u=1+9x, de modo que du=9,dx e quando x=0 temos u=1, quando x=2 temos u=19. Assim,
integral0^2raiz1+9x;dx =integralu=1^19raizu,du9 =19integral1^19u^1/2,du

Passo 5

Calculando a integral em u:
19integral1^19u^1/2,du =19cdot23l[u^3/2r]1^19 =227l(19^3/2-1r) =227l(19raiz19-1r)

Resposta

O comprimento da curva é
L=227l(19raiz19-1r)

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