Calcule a área da superfície gerada pela rotação em torno do eixo
da curva dada.
Passo 1
O enunciado pede a área da superfície gerada ao girar a curva y=
para 1$\le x\le$8 em torno do eixo y. O conteúdo aplicado é área de superfície de revolução em torno do eixo y, que usa a fórmula S=
.
Passo 2
Primeiro vamos achar
. Como
, temos
Logo a área é
Passo 3
Agora simplificamos a raiz:
Substituindo no integrando,
Então
Passo 4
Para calcular a integral, faça a troca de variável
t=3x^{2/3}, então dt=2x^{-1/3}dx e x^{2/3}=t/3. Os limites viram t(1)=3 e t(8)=12. O integrando fica
t=3x^{2/3}, então dt=2x^{-1/3}dx e x^{2/3}=t/3. Os limites viram t(1)=3 e t(8)=12. O integrando fica
Assim
Fazendo u=t^2+1 (du=2t dt) achamos
e avaliando de 3 a 12.
Passo 5
Substituindo de volta, obtemos