Calcule a área da superfície gerada pela rotação em torno do eixo y da curva dada.
y=raiz[3]x, 1 <= x <= 8

Passo 1

O enunciado pede a área da superfície gerada ao girar a curva y= raiz[3]x para 1$\le x\le$8 em torno do eixo y. O conteúdo aplicado é área de superfície de revolução em torno do eixo y, que usa a fórmula S= <= x<=.

Passo 2

Primeiro vamos achar y'. Como y=x^1/3, temos
y'=ddxx^1/3=13x^-2/3
Logo a área é
S=2piintegral1^8xraiz1+l(13x^-2/3r)^2,dx =2piintegral1^8xraiz1+19x^-4/3,dx

Passo 3

Agora simplificamos a raiz:
raiz1+19x^-4/3=13x^2/3raiz9x^4/3+1
Substituindo no integrando,
xcdot13x^2/3raiz9x^4/3+1=13x^1/3raiz9x^4/3+1
Então
S=2pi3integral1^8x^1/3raiz9x^4/3+1,dx

Passo 4

Para calcular a integral, faça a troca de variável
t=3x^{2/3}, então dt=2x^{-1/3}dx e x^{2/3}=t/3. Os limites viram t(1)=3 e t(8)=12. O integrando fica
x^1/3raiz9x^4/3+1,dx=t6raizt^2+1,dt
Assim
S=2pi3integral3^12x^1/3raiz9x^4/3+1,dx =pi9integral3^12traizt^2+1,dt
Fazendo u=t^2+1 (du=2t dt) achamos
integral traizt^2+1,dt=13(t^2+1)^3/2
e avaliando de 3 a 12.

Passo 5

Substituindo de volta, obtemos
S=pi27l[(12^2+1)^3/2-(3^2+1)^3/2r] =pi27l(145raiz145-10raiz10r)

Resposta

S=dfracpi27l(145raiz145-10raiz10r)

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