Calcule a área da superfície gerada pela rotação em torno do eixo da curva dada.
Passo 1
O enunciado pede a área da superfície gerada pela rotação da curva , de até , em torno do eixo . O conteúdo é superfície de revolução, e vamos precisar da fórmula que envolve , e um integral em .
Passo 2
Para usar a fórmula, primeiro calculamos a derivada: . A fórmula da área de superfície ao girar em torno do eixo é
Substituindo e , temos
Passo 3
Para resolver
um truque clássico é usar a substituição trigonométrica . Assim
et . Então o integrando vira
Passo 4
Agora usamos , de modo que
Para cada termo aplicamos a fórmula de redução:
Passo 5
Calculando separadamente:
Substituindo e combinando, obtém-se I(theta) = 14sec^3thetatantheta - 18secthetatantheta - 18lnl|sectheta + tanthetar| + C
Passo 6
Precisamos avaliar de x=0 até x=raiz3. Em x=tantheta = raiz3 temos theta=pi/3, sectheta=2, tantheta=raiz3. Em x=0 corresponde theta=0. Substituindo,