Calcule a área da superfície gerada pela rotação em torno do eixo x da curva dada.
y=12 x^2, 0 <= x <= raiz3

Passo 1

O enunciado pede a área da superfície gerada pela rotação da curva y = tfrac12 x^2, de x=0 até x=raiz3, em torno do eixo x. O conteúdo é superfície de revolução, e vamos precisar da fórmula que envolve y, y' e um integral em x.

Passo 2

Para usar a fórmula, primeiro calculamos a derivada: y' = ddxl(tfrac12 x^2r) = x. A fórmula da área de superfície ao girar em torno do eixo x é
S = 2pi integrala^b y , raiz1 + (y')^2 , dx
Substituindo y = tfrac12 x^2 e y' = x, temos
S = 2pi integral0^raiz3 l(tfrac12 x^2r) raiz1 + x^2 , dx = pi integral0^raiz3 x^2 raiz1 + x^2 , dx

Passo 3

Para resolver
I = integral x^2 raiz1 + x^2 , dx,
um truque clássico é usar a substituição trigonométrica x = tantheta. Assim
dx = sec^2theta , dtheta,
1 + x^2 = sec^2theta,
et x^2 = tan^2theta. Então o integrando vira
x^2 raiz1 + x^2 , dx = tan^2theta cdot sectheta cdot sec^2theta , dtheta = tan^2theta , sec^3theta , dtheta

Passo 4

Agora usamos tan^2theta = sec^2theta - 1, de modo que
I = integral (sec^5theta - sec^3theta) , dtheta
Para cada termo aplicamos a fórmula de redução:
integral sec^ntheta , dtheta = 1n-1 sec^n-2theta tantheta + n-2n-1 integral sec^n-2theta , dtheta

Passo 5

Calculando separadamente:
integral sec^5theta , dtheta = 14sec^3theta tantheta + 34 integral sec^3theta , dtheta,
integral sec^3theta , dtheta = 12 sectheta tantheta + 12 lnl|sectheta + tanthetar| + C
Substituindo e combinando, obtém-se
I(theta) = 14sec^3thetatantheta - 18secthetatantheta - 18lnl|sectheta + tanthetar| + C

Passo 6

Precisamos avaliar de x=0 até x=raiz3. Em x=tantheta = raiz3 temos theta=pi/3, sectheta=2, tantheta=raiz3. Em x=0 corresponde theta=0. Substituindo,
$$I\Bigl|_0^{\pi/3} = \Bigl(\tfrac14\cdot8\sqrt3 - \tfrac18\cdot2\sqrt3 - \tfrac18\ln(2+\sqrt3)\Bigr) - 0 = \frac{7\sqrt3}{4} - \frac18\ln(2+\sqrt3).
$$

Passo 7

Voltando ao integral original de área,
$$S = \pi , I\Bigl|_0^{\sqrt3} = \pi\Bigl(\frac{7\sqrt3}{4} - \frac18\ln(2+\sqrt3)\Bigr).
$$

Resposta

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