integral ln (x)x^9 d x

Passo 1

Ok, vamos resolver a integral integral ln (x)x^9 , dx. Esse exercício envolve cálculo integral, especificamente a técnica de integração por partes. Para resolver isso, vamos precisar entender como separar a função em duas partes que facilitam a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é integração por partes. A fórmula é:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Aqui, precisamos escolher u e dv de maneira que facilite a resolução. Olhando para a nossa integral integral ln (x)x^9 , dx, vamos escolher:
u = ln(x) e dv = 1x^9 , dx

Passo 3

Agora, vamos calcular du e v:
du = 1x , dx
Para encontrar v, integramos dv:
v = integral 1x^9 , dx = integral x^-9 , dx = x^-8-8 = -18x^8

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral ln (x)x^9 , dx = u cdot v - integral v , du
Substituindo u, v e du:
= ln(x) cdot (-18x^8) - integral (-18x^8) cdot 1x , dx
Simplificando:
= -ln(x)8x^8 + 18 integral 1x^9 , dx

Passo 5

Agora, vamos integrar integral 1x^9 , dx:
integral 1x^9 , dx = integral x^-9 , dx = x^-8-8 = -18x^8

Passo 6

Substituindo de volta na expressão anterior:
-ln(x)8x^8 + 18 cdot (-18x^8) = -ln(x)8x^8 - 164x^8

Resposta

Portanto, a integral de ln (x)x^9 em relação a x é:
integral ln (x)x^9 , dx = -ln(x)8x^8 - 164x^8 + C
onde C é a constante de integração.

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