Calcule a área da superfície limitada pela curva y=a^2 x-x^3, pelo eixo dos x e pelas retas x=-a e x=a. Resposta: a^42 u.a.

Passo 1

Enunciado: calcular a área limitada pela curva y=a^2x - x^3, pelo eixo dos x e pelas retas x=-a e x=a. O conteúdo é integração para área sob a curva.

Passo 2

Determinar as interseções com o eixo x resolvendo a^2x - x^3=0, que dá x(a^2-x^2)=0 e, portanto, x=-a,0,a.

Passo 3

Observar que entre -a e 0 a função é negativa e entre 0 e a é positiva. Então a área é
A=integral-a^al|a^2x - x^3r|,dx = 2integral0^a(a^2x - x^3),dx

Passo 4

Calcular a integral:
integral0^a(a^2x - x^3),dx = [a^2x^22 - x^44]0^a = a^42 - a^44 = a^44
Multiplicando por 2 obtém-se A=a^42.

Resposta

a^42 u.a.

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