Calcule a área da superfície limitada pela curva x=3 y-y^2 e pela reta x=0. Resposta: 92 u.a.

Passo 1

Beleza! A gente vai calcular a área da superfície que está limitada pela curva $ x = 3y - y^{2} $ e pela reta $ x = 0 $. Para isso, vamos usar conhecimentos de Matemática sobre integração e áreas sob curvas. Precisamos entender como essas duas equações se relacionam e onde elas se encontram para determinar os limites da integração.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde a curva $ x = 3y - y^{2} $ intercepta a reta $ x = 0 $. Isso significa resolver a equação $ 3y - y^{2} = 0 $.

Passo 3

Resolvendo $ 3y - y^{2} = 0 $, podemos fatorar:
$ y(3 - y) = 0 $
Então, $ y = 0 $ ou $ y = 3 $. Esses são os pontos de interseção.

Passo 4

Agora que sabemos que as interseções acontecem em $ y = 0 $ e $ y = 3 $, vamos determinar a área entre esses limites. A fórmula para a área entre duas curvas é a integral da diferença delas no intervalo determinado.

Passo 5

Como a reta é $ x = 0 $, a área será a integral da função $ x = 3y - y^{2} $ em relação a $ y $ de 0 a 3:
x = 0 Á

Passo 6

Vamos calcular essa integral:
integral (3y - y^2) , dy = 32y^2 - 13y^3
Agora, avaliamos de 0 a 3.

Passo 7

Substituindo os valores:
[ 32(3)^2 - 13(3)^3 ] - [ 32(0)^2 - 13(0)^3 ] = [ 272 - 9 ] - 0 = 272 - 182 = 92

Resposta

92 u.a.

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