Calcule a área da superfície limitada pela curva
e pela reta
. Resposta:
u.a.
Passo 1
Beleza! A gente vai calcular a área da superfície que está limitada pela curva $ x = 3y - y^{2} $ e pela reta $ x = 0 $. Para isso, vamos usar conhecimentos de Matemática sobre integração e áreas sob curvas. Precisamos entender como essas duas equações se relacionam e onde elas se encontram para determinar os limites da integração.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde a curva $ x = 3y - y^{2} $ intercepta a reta $ x = 0 $. Isso significa resolver a equação $ 3y - y^{2} = 0 $.
Passo 3
Resolvendo $ 3y - y^{2} = 0 $, podemos fatorar:
$ y(3 - y) = 0 $
Então, $ y = 0 $ ou $ y = 3 $. Esses são os pontos de interseção.
$ y(3 - y) = 0 $
Então, $ y = 0 $ ou $ y = 3 $. Esses são os pontos de interseção.
Passo 4
Agora que sabemos que as interseções acontecem em $ y = 0 $ e $ y = 3 $, vamos determinar a área entre esses limites. A fórmula para a área entre duas curvas é a integral da diferença delas no intervalo determinado.
Passo 5
Como a reta é $ x = 0 $, a área será a integral da função $ x = 3y - y^{2} $ em relação a $ y $ de 0 a 3:
Passo 6
Vamos calcular essa integral:
Agora, avaliamos de 0 a 3.
Passo 7
Substituindo os valores: